Algèbre Linéaire
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Table des matières
I. Préface
I.1 À propos de ce cours
I.2 Références bibliographiques
1. Systèmes linéaires
** PDF du Chapitre **
1.1 Motivation
1.2 Définition et exemples
1.3 Sur le nombre de solutions d'un système linéaire
1.4 Transformer un système en un autre
1.5 Matrices et algorithme de Gauss
2. Vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)
** PDF du Chapitre **
2.1 Définitions
2.2 Colinéarité
2.3 Combinaisons linéaires et parties engendrés
2.4 In-dépendance linéaire
3. Systèmes: formulation vectorielle
** PDF du Chapitre **
3.1 Systèmes: formulation matricielle
3.2 Sur le nombre de solutions d'un système linéaire (BIS)
3.3 Systèmes homogènes et inhomogènes
3.4 Applications linéaires: introduction
4. Espaces vectoriels
** PDF du Chapitre **
4.1 Motivation
4.2 Définition et exemples
4.3 Colinéarité et in-dépendance linéaire
4.4 Sous-espaces vectoriels
4.5 Bases
4.6 Applications linéaires
4.7 Dimension
4.8 Matrice d'une application
4.9 Théorème du Rang
5. Applications linéaires de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^m\)
** PDF du Chapitre **
5.1 Matrice d'une application
5.2 Surjection, injection, bijection
5.3 Une base pour \(\mathrm{Im} (A)\)
5.4 Une base pour \(\mathrm{Ker}(A)\)
5.5 Transposition
5.6 Le Théorème du Rang
5.7 Transformations géométriques
6. Le produit matriciel
** PDF du Chapitre **
6.1 Définition
6.2 Propriétés
7. Inversion
** PDF du Chapitre **
7.1 Motivation
7.2 Définition et propriétés de base
7.3 Le cas \(2\times 2\)
7.4 Le cas \(n\times n\): matrices élémentaires et algorithme de Gauss-Jordan
7.5 Critères d'inversibilité
8. Le changement de base
** PDF du Chapitre **
8.1 Introduction
8.2 Effet sur les composantes des vecteurs
8.3 Effet sur la matrice d'une application
8.4 Exemples
9. Déterminant
** PDF du Chapitre **
9.1 Motivation: le cas \(2\times 2\) revisited
9.2 Cas général \(n\times n\)
9.3 Propriétés
9.4 La formule \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
9.5 Formule de Cramer et conséquences
9.6 Interprétation géométrique du déterminant
10. Vecteurs et valeurs propres
** PDF du Chapitre **
10.1 Motivation
10.2 Définition, espace propre
10.3 Le polynôme caractéristique
10.4 Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
10.5 Multiplicités algébriques et géométriques
11. Diagonalisation
** PDF du Chapitre **
11.1 Motivation, définition
11.2 Critère de base
11.3 Deuxième critère
12. Produit scalaire et orthogonalité
** PDF du Chapitre **
12.1 Norme et distance
12.2 Définition du produit scalaire
12.3 À propos de \(\mathrm{Col}(A)\) et \(\mathrm{Lgn}(A)\)
12.4 Familles orthogonales
12.5 Projection sur un vecteur
12.6 Projection sur un sous-espace vectoriel
12.7 Le procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt
12.8 La décomposition QR
13. La méthode des moindres carrés
** PDF du Chapitre **
13.1 Introduction
13.2 Méthode générale
13.3 Utilisation de la décomposition QR
14. Matrices symétriques et orthogonales
** PDF du Chapitre **
14.1 Définitions
14.2 Sur les espaces propres d'une matrice symétrique
14.3 Théorème et décomposition spectrale
15. La décomposition en valeurs singulières
** PDF du Chapitre **
15.1 Introduction
15.2 Existence
15.3 Exemples
15.4 Rang et représentation
15.5 Élongations et ellipsoïdes
16. Espaces Euclidiens
** PDF du Chapitre **
16.1 Définition et exemples
16.2 Projections et applications
17. Chaînes de Markov
** PDF du Chapitre **
17.1 Introduction