Analyse réelle | S. Friedli

5.5 Transposition

L'opération de transposition, pour une matrice, est une opération qui consiste à transformer ses colonnes en lignes. Elle ne sera utilisée que plus tard dans le cours, mais nous la définissons déjà ici, et présentons ses propriétés.

Soit \(A\) une matrice \(m\times n\). La transposée de \(A\), notée \(A^T\), est la matrice \(n\times m\) dont les éléments sont définis par \[ (A^T)_{ij}:= A_{ji}\,. \]

Exemple: Si \(A\) est \(2\times 3\), donnée par \[ A= \begin{pmatrix} \alpha & \beta&\gamma\\ \delta & \mu & \varepsilon \end{pmatrix}\,, \] alors \(A^T\) est \(3\times 2\), donnée par \[ A^T= \begin{pmatrix} \alpha & \delta\\ \beta & \mu\\ \gamma & \varepsilon \end{pmatrix}\,. \]

Exemple: Pour une matrice carrée, la transposition revient à refléter ses coefficients à travers la diagonale: \[ A= \begin{pmatrix} {\color{red}a}&b&c&d\\ e&{\color{red}f}&g&h\\ i&j&{\color{red}k}&l\\ m&n&o&{\color{red}p} \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^T= \begin{pmatrix} {\color{red}a}&e&i&m\\ b&{\color{red}f}&j&n\\ c&g&{\color{red}k}&o\\ d&h&l&{\color{red}p} \end{pmatrix}\,. \]

\((A^T)^T=A\)
\((\lambda A)^T=\lambda A^T\) pour tout scalaire \(\lambda\)
Pour toute paire \(A,B\) (de mêmes dimensions), \[(A+B)^T=A^T+B^T\,.\]

Preuve:

Suivent de la définition.

Transposition de vecteurs

Pour des raisons de commodité, on utilisera souvent le fait suivant: si un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) est vu comme une matrice \(n\times 1\) (un ''vecteur colonne''), on peut également lui appliquer l'opération de transposition, et le transformer en une matrice \(1\times n\) (un ''vecteur ligne''): \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{x}^T=[x_1\,x_2\cdots x_n]\,. \]

Quiz 5.5-1 : Vrai ou faux?

Si \(D\) est une matrice diagonale , alors \(D^T=D\).
Si \(A=A^T\), alors \(A\) est une matrice diagonale.
Si \(A\neq A^T\), alors il n'existe aucune paire \(ij\) telle que \(a_{ij}=a_{ji}\).