5.3 Transposition
Définition générale

L'opération de transposition, pour une matrice, est une opération qui consiste à transformer ses colonnes en lignes. Elle ne sera utilisée que plus tard dans le cours, mais nous la définissons déjà ici, et présentons ses propriétés.

Soit \(A\) une matrice de taille \(m\times n\). La transposée de \(A\), notée \(A^T\), est la matrice de taille \(n\times m\) dont les éléments sont définis par \[ (A^T)_{i,j}:= A_{j,i}\,. \qquad i=1,\dots,m, \quad j=1,\dots,n\,. \] Une matrice carrée \(A\) de taille \(n\) est dite symétrique si \( A^T = A \), et antisymétrique si \( A^T = - A \).

Exemple: Si \(A\) est une matrice de taille \(2\times 3\), donnée par \[ A= \begin{pmatrix} \alpha & \beta&\gamma\\ \delta & \mu & \varepsilon \end{pmatrix}\,, \] alors \(A^T\) est une matrice de taille \(3\times 2\), donnée par \[ A^T= \begin{pmatrix} \alpha & \delta\\ \beta & \mu\\ \gamma & \varepsilon \end{pmatrix}\,. \]

Exemple: Pour une matrice carrée, la transposition revient à refléter ses coefficients à travers la diagonale: \[ A= \begin{pmatrix} {\color{red}a}&b&c&d\\ e&{\color{red}f}&g&h\\ i&j&{\color{red}k}&l\\ m&n&o&{\color{red}p} \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^T= \begin{pmatrix} {\color{red}a}&e&i&m\\ b&{\color{red}f}&j&n\\ c&g&{\color{red}k}&o\\ d&h&l&{\color{red}p} \end{pmatrix}\,. \]

Pour toute paire de matrices \(A\) et \(B\) de la même taille et pour tout scalaire \(\lambda \in \mathbb{R}\),
  1. (i) \((A^T)^T=A\);
  2. (ii) \( (A+ \lambda B)^T=A^T+ \lambda B^T \).

Suivent de la définition.

Transposition de vecteurs

Pour des raisons de commodité, on utilisera souvent le fait suivant: si un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) est vu comme une matrice de taille \(n\times 1\) (i.e. un \gras{vecteur colonne}), on peut également lui appliquer l'opération de transposition, et le transformer en une matrice de taille \(1\times n\) (i.e., un vecteur ligne): \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{x}^T=[x_1\,x_2\cdots x_n]\,. \]

Quiz 5.3-1 : Vrai ou faux?
  1. Si \(D\) est une matrice diagonale , alors \(D^T=D\).
  2. Si \(A=A^T\), alors \(A\) est une matrice diagonale.
  3. Si \(A\neq A^T\), alors il n'existe aucune paire \(ij\) telle que \(a_{ij}=a_{ji}\).

Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:29)

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