12.8 La décomposition QR

La décomposition \(QR\) est une méthode qui permet de factoriser une matrice, c'est-à-dire de l'écrire comme un produit de deux autres matrices particulières (un peu comme une matrice carrée inversible peut être factorisée en un produit de matrices élémentaires).

On le verra, pouvoir écrire une matrice comme un produit de matrices plus simples possèdera de nombreux avantages.

Lorsque les colonnes de \(A\) sont indépendantes

Soit \(A\) une matrice \(m\times n\), que l'on écrit à l'aide de ses colonnes: \[ A=[\boldsymbol{a}_1\cdots \boldsymbol{a}_n]\,, \] où chaque \(\boldsymbol{a}_j\in \mathbb{R}^m\).

Si les colonnes de \(A\) sont linéairement indépendantes, elles forment une base de \(\mathrm{Im} (A)\). Cette base n'est a priori pas orthogonale, on peut donc lui appliquer le procédé de Gram-Schmidt: \[\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1&:= \boldsymbol{a}_1\,,\\ \boldsymbol{v}_2&:= \boldsymbol{a}_2-\frac{\boldsymbol{a}_2\cdotp\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|^2}\boldsymbol{v}_1\\ \boldsymbol{v}_3&:= \boldsymbol{a}_3-\sum_{i=1}^2 \frac{\boldsymbol{a}_3\cdotp\boldsymbol{v}_i}{\|\boldsymbol{v}_i\|^2}\boldsymbol{v}_i\,,\\ \vdots&\\ \boldsymbol{v}_n&:= \boldsymbol{a}_n-\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\boldsymbol{a}_n\cdotp\boldsymbol{v}_i}{\|\boldsymbol{v}_i\|^2}\boldsymbol{v}_i\,,\\ \end{aligned}\] Normalisons chacun des \(\boldsymbol{v}_j\), en définissant \[ \boldsymbol{u}_1:= \frac{\boldsymbol{v}_1}{\|\boldsymbol{v}_1\|}\,,\quad\dots \quad,\, \boldsymbol{u}_k:= \frac{\boldsymbol{v}_k}{\|\boldsymbol{v}_k\|}\,. \] Les \(n\) relations ci-dessus permettent maintenant d'écrire \[\begin{aligned} \boldsymbol{a}_1&=\|\boldsymbol{v}_1\| \boldsymbol{u}_1\,,\\ \boldsymbol{a}_2&=(\boldsymbol{a}_2\cdotp\boldsymbol{u}_1)\boldsymbol{u}_1+ \|\boldsymbol{v}_2\|\boldsymbol{u}_2\\ \boldsymbol{a}_3&=\left(\sum_{i=1}^2 (\boldsymbol{a}_3\cdotp\boldsymbol{u}_i)\boldsymbol{u}_i\right)+\|\boldsymbol{v}_3\| \boldsymbol{u}_3\,,\\ \vdots&\\ \boldsymbol{a}_n&= \left(\sum_{i=1}^{n-1} (\boldsymbol{a}_n\cdotp\boldsymbol{u}_i)\boldsymbol{u}_i\right)+\|\boldsymbol{v}_n\|\boldsymbol{u}_n\,,\\ \end{aligned}\] Cette décomposition des colonnes de \(A\) en combinaisons linéaires des vecteurs \(\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_n\) peut s'exprimer à l'aide de deux matrices.

• D'abord, considérons la matrice \(Q\), \(m\times n\), définie par \[ Q:= [\boldsymbol{u}_1\cdots\boldsymbol{u}_n]\,. \] Les colonnes de cette matrice étant unitaires et orthogonales deux à deux, on a (lire la remarque de la fin de la section précédente): \[ Q^TQ=I_n\,. \]
• Ensuite, considérons la matrice \(R\), triangulaire supérieure \(n\times n\), formée à partir des coefficients apparaissant dans les combinaisons linéaires ci-dessus: \[ R:= \begin{pmatrix} \|\boldsymbol{v}_1\|&\boldsymbol{a}_2\cdotp\boldsymbol{u}_1&\boldsymbol{a}_3\cdotp\boldsymbol{u}_1&\cdots&\boldsymbol{a}_n\cdotp\boldsymbol{u}_1\\ 0&\|\boldsymbol{v}_2\|&\boldsymbol{a}_3\cdotp\boldsymbol{u}_2&\cdots&\boldsymbol{a}_n\cdotp\boldsymbol{u}_2\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&0&\|\boldsymbol{v}_{n-1}\|&\boldsymbol{a}_n\cdotp\boldsymbol{u}_{n-1}\\ 0&\cdots&&0&\|\boldsymbol{v}_n\| \end{pmatrix}\,. \] En d'autres termes, les coefficients apparaissant dans la \(k\)-ème colonne de \(R\) sont les coefficients de la combinaison linéaire donnant \(\boldsymbol{a}_k\).

Par définition, \(QR=A\). Pour le voir explicitement, on peut écrire \[ R=[\boldsymbol{r}_1\cdots \boldsymbol{r}_n]\,, \] où \[\begin{aligned} \boldsymbol{r}_1&=\|\boldsymbol{v}_1\|\boldsymbol{e}_1\\ \boldsymbol{r}_2&=(\boldsymbol{a}_1\cdotp\boldsymbol{u}_1)\boldsymbol{e}_1+\|\boldsymbol{v}_2\|\boldsymbol{e}_2\\ \vdots&\\ \boldsymbol{r}_n&=\left(\sum_{i=1}^{n-1}(\boldsymbol{a}_i\cdotp \boldsymbol{u}_i)\boldsymbol{e}_i\right) +\|\boldsymbol{v}_n\|\boldsymbol{e}_n\,. \end{aligned}\] Ainsi, la \(k\)-ème colonne de \(QR=[Q\boldsymbol{r}_1\cdots Q\boldsymbol{r}_n]\) est donnée par \[\begin{aligned} Q\boldsymbol{r}_k &=Q \left( \sum_{i=1}^{k-1}(\boldsymbol{a}_i\cdotp \boldsymbol{u}_i)\boldsymbol{e}_i +\|\boldsymbol{v}_k\|\boldsymbol{e}_k \right)\\ &= \sum_{i=1}^{k-1}(\boldsymbol{a}_i\cdotp \boldsymbol{u}_i)(Q\boldsymbol{e}_i) +\|\boldsymbol{v}_k\|Q\boldsymbol{e}_k\\ &= \sum_{i=1}^{k-1}(\boldsymbol{a}_i\cdotp \boldsymbol{u}_i)\boldsymbol{u}_i +\|\boldsymbol{v}_k\|\boldsymbol{u}_k\\ &=\boldsymbol{a}_k\,. \end{aligned}\] On a donc démontré:

• Une décomposition \(QR\) n'est pas unique, puisque l'on peut toujours par exemple changer les signes des colonnes de \(Q\), ce qui change les coefficients de \(R\) aussi mais qui ne change pas la validité de l'identité \(A=QR\).
• A priori, \(R\) s'obtient à l'aide de l'expression ci-dessus, pleine de produits scalaires. Mais on peut l'obtenir plus simplement. En effet, remarquons que si on multiplie (à gauche) les deux côtés de ''\(A=QR\)'' par \(Q^T\), \[ Q^TA=Q^T(QR)=(Q^TQ)R=I_nR=R\,. \]

Donc la factorisation \(QR\) d'une matrice \(A\) dont les colonnes sont linéairement indépendantes peut s'obtenir comme suit:

1. Appliquer le procédé de Gram-Schmidt aux colonnes de \(A=[\boldsymbol{a}_1\cdots\boldsymbol{a}_n]\), et normaliser les vecteurs obtenus, pour obtenir \(Q:= [\boldsymbol{u}_1\cdots\boldsymbol{u}_n]\).
2. Calculer \(R=Q^TA\).

Cas général

La décomposition \(QR\) existe même si les colonnes de la matrice ne sont pas linéairement indépendantes:

La différence avec le cas précédent est que lorsqu'on calcule \(Q\) en appliquant le procédé de Gram-Schmidt, on tombe sur des colonnes nulles, que l'on peut éliminer pour ne garder qu'une base orthonormale de \(\mathrm{Col}(A)\). Après, \(R\) s'obtient aussi par \(R=Q^TA\).

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Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:46)

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