5.4 Propriétés du produit et de la transposition de matrices
Le produit matriciel satisfait aux propriétés suivantes. (Ci-dessous, on suppose que les tailles des matrices sont toujours compatibles.)
  1. (i) \(A(BC)=(AB)C\) (⚡ associativité);
  2. (ii) \(A(B+C)=AB+AC\) (distributivité);
  3. (iii) \((A+B)C=AC+BC\) (distributivité);
  4. (iv) \(A(\lambda B)=\lambda(AB)=(\lambda A)B\);
  5. (v) \((AB)^T=B^TA^T\).

Les premières propriétés seront vérifiées en exercices. Pour la dernière, considérons \(A\) de dimensions \(m\times n\), et \(B\) de dimensions \(n\times p\), et calculons l'coefficient de \((AB)^T\): \[\begin{aligned} \big((AB)^T\big)_{i,j}&=(AB)_{j,i}\\ &=\sum_{k=1}^nA_{j,k}B_{k,i}\\ &=\sum_{k=1}^n(A^T)_{k,j}(B^T)_{i,k}\\ &=\sum_{k=1}^n(B^T)_{i,k}(A^T)_{k,j}\\ &=(B^TA^T)_{i,j}\,. \end{aligned}\]

L'associativité signifie que l'on n'a pas besoin d'utiliser de parenthèses lorsqu'on multiplie plusieurs matrices: les produits peuvent s'effectuer dans n'importe quel ordre. Donc au lieu de \(A(BC)\) ou \((AB)C\), on peut simplement écrire \(ABC\).

Ce qu'on n'a pas le droit de faire, par contre, c'est de changer l'ordre des matrices dans un produit: le produit matriciel n'est pas commutatif. De fait, en général, même pour des matrices \(A,B\) de dimensions compatibles, \[ AB\neq BA\,. \] En effet, commençons par remarquer que si \(A\) est \(m\times n\), alors \(AB\) et \(BA\) sont toutes deux bien définies seulement si \(B\) est \(n\times m\). Mais alors \(AB\) est \(m\times m\) et \(BA\) est \(n\times n\), donc \(AB\) et \(BA\) sont de tailles différentes dès que \(m\neq n\). Donc pour que les deux matrices \(AB\) et \(BA\) soient toutes les deux définies et égales, il faut déjà que \(A\) et \(B\) soient carrées, de la même taille \(n\times n\).

Or même si \(A\) et \(B\) sont carrées et de mêmes dimensions, en général \(AB\neq BA\).

Exemple: Avec \(A=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\), on a \[\begin{aligned} AB= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix}\,,\\ BA= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\,, \end{aligned}\] et donc \(AB\neq BA\).

Si \(A,B\) sont telles que \(AB=BA\), on dit qu'elles commutent.

Mentionnons encore une différence importante qui distingue le calcul matriciel du calcul réel. On sait que dans les réels, un produit nul \[ab=0\] implique qu'au moins un des nombres \(a,b\) est nul. Par contre, on peut avoir un produit matriciel nul, \[AB=\mathbf{0}\,,\] sans qu'aucune des matrices \(A,B\) ne soit identiquement nulle (voir exercices).

On rappelle que la matrice identité \(I_n\) est la matrice de taille \(n\times n\) définie par \[ I_n:= %\mathrm{diag}(1,1,\dots,1)= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\,. \] Noter que \( I_n = [\mathrm{id}_{\mathbb{R}^n}]\), i.e. la matrice identité \(I_n\) est la matrice canonique de l'application identité de \(\mathbb{R}^n\).

L'action de \(I_n\) sur un vecteur n'a aucun effet: \[ I_n\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\,,\qquad \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\,. \] De plus, la matrice identité est l'élément neutre pour la multiplication des matrices, puisqu'on a, pour toute matrice \(A\) de taille \(m\times n\), \[ AI_n=I_m A=A\,. \]

Quiz 5.4-1 : Vrai ou faux?
  1. Pour que \(A\) et \(B\) commutent, elles doivent êtres carrées et de mêmes dimensions.
  2. Une matrice diagonale \(n\times n\) commute avec n'importe quelle matrice \(n\times n\).
  3. Si \(\widetilde{C}\) est la réduite de \(C\), alors \(\widetilde{AB}=\widetilde{A}\widetilde{B}\)
    .
  4. Deux matrices diagonales \(n\times n\) commutent toujours.
  5. Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de mêmes dimensions, alors \[ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\,. \]

Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:29)

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