6.2 Propriétés
Le produit matriciel satisfait aux propriétés suivantes. (Ci-dessous, on suppose que les dimensions des matrices sont toujours compatibles.)
  1. \(A(BC)=(AB)C\) (⚡ associativité)
  2. \(A(B+C)=AB+AC\) (distributivité)
  3. \((A+B)C=AC+BC\) (distributivité)
  4. \(A(\lambda B)=\lambda(AB)=(\lambda A)B\)
  5. \((AB)^T=B^TA^T\)

Les premières propriétés seront vérifiées en exercices. Pour la dernière, considérons \(A\) de dimensions \(m\times n\), et \(B\) de dimensions \(n\times p\), et calculons l'élément \(ij\) de \((AB)^T\): \[\begin{aligned} ((AB)^T)_{ij}&=(AB)_{ji}\\ &=\sum_{k=1}^nA_{jk}B_{ki}\\ &=\sum_{k=1}^n(A^T)_{kj}(B^T)_{ik}\\ &=\sum_{k=1}^n(B^T)_{ik}(A^T)_{kj}\\ &=(B^TA^T)_{ij}\,. \end{aligned}\]

L'associativité signifie que l'on n'a pas besoin d'utiliser de parenthèses lorsqu'on multiplie plusieurs matrices: les produits peuvent s'effecteur dans n'importe quel ordre. Donc au lieu de \(A(BC)\) ou \((AB)C\), on peut simplement écrire \(ABC\).

Ce qu'on n'a pas le droit de faire, par contre, c'est de changer l'ordre des matrices dans un produit: le produit matriciel n'est pas commutatif. De fait, en général, même pour des matrices \(A,B\) de dimensions compatibles, \[ AB\neq BA\,. \] En effet, commençons par remarquer que si \(A\) est \(m\times n\), alors \(AB\) et \(BA\) sont toutes deux bien définies seulement si \(B\) est \(n\times m\). Mais alors \(AB\) est \(m\times m\) et \(BA\) est \(n\times n\), donc \(AB\) et \(BA\) sont de dimensions différentes dès que \(m\neq n\). Donc pour que les deux matrices \(AB\) et \(BA\) soient toutes les deux définies et égales, il faut déjà que \(A\) et \(B\) soient carrées, de même dimension \(n\times n\).

Or même si \(A\) et \(B\) sont carrées et de mêmes dimensions, en général \(AB\neq BA\).

Exemple: Avec \(A=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\), on a \[\begin{aligned} AB= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0&-1\\ -1&0 \end{pmatrix}\,,\\ BA= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}\,, \end{aligned}\] et donc \(AB\neq BA\).

Si \(A,B\) sont telles que \(AB=BA\), on dit qu'elles commutent.

Mentionnons encore une différence importante qui distingue le calcul matriciel du calcul réel. On sait que dans les réels, un produit nul \[ab=0\] implique qu'au moins un des nombres \(a,b\) est nul. Par contre, on peut avoir un produit matriciel nul, \[AB=0\,,\] sans qu'aucune des matrices \(A,B\) ne soit identiquement nulle (voir exercices).

Matrice identité
La matrice identité \(I_n\) est la matrice \(n\times n\) définie par \[ I_n:= \mathrm{diag}(1,1,\dots,1)= \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&&\\ \vdots&&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&1 \end{pmatrix} \]

L'action de \(I_n\) sur un vecteur n'a aucun effet: \[ I_n\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\,,\qquad \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\,. \] De plus, la matrice identité est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées \(n\times n\), puisqu'on a, pour toute matrice \(A\) (\(n\times n\)), \[ AI_n=I_nA=A\,. \] \(I_n\) est d'ailleurs la seule matrice qui commute avec toute matrice \(n\times n\) (voir exercices).

Quiz 6.2-1 : Vrai ou faux?
  1. Pour que \(A\) et \(B\) commutent, elles doivent êtres carrées et de mêmes dimensions.
  2. Une matrice diagonale \(n\times n\) commute avec n'importe quelle matrice \(n\times n\).
  3. Si \(\widetilde{C}\) est la réduite de \(C\), alors \(\widetilde{AB}=\widetilde{A}\widetilde{B}\)
    .
  4. Deux matrices diagonales \(n\times n\) commutent toujours.
  5. Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de mêmes dimensions, alors \[ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\,. \]

Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:45)

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