Dans ce chapitre, nous allons reformuler ce qui a été dit à propos des systèmes
en utilisant le langage vectoriel de
l'algèbre linéaire. Ceci aura plusieurs avantages, et
mènera en particulier
à une compréhension plus profonde des divers aspects liés à la recherche des
solutions d'un système linéaire.
On peut voir un système \(m\times n\) général, de la forme
\[
(*)
\left\{
\begin{array}{ccccccccc}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n&=&b_1\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n&=&b_2\\
\vdots&&&&&&&\vdots&\\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n&=&b_m
\end{array}
\right. \,,
\]
comme une égalité entre deux vecteurs de \(\mathbb{R}^m\):
\[
\begin{pmatrix}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1n}x_n\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2n}x_n\\
&&\vdots&&&&\\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\cdots&+&a_{mn}x_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}\,.
\]
Or on peut récrire cette dernière comme suit:
\[
x_1
\begin{pmatrix}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots\\
a_{m1}
\end{pmatrix}
+
x_2
\begin{pmatrix}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots\\
a_{m2}
\end{pmatrix}
+\cdots+
x_n
\begin{pmatrix}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots\\
a_{mn}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}\,,
\]
dans laquelle on reconnaît maintenant, dans le membre de gauche,
une combinaison linéaire
des colonnes de la matrice associée au système, qui est donnée,
rappelons-le, par
\[
A=
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}\,.
\]
Récrivons la même chose de façon plus compacte, en commençant par
définir le vecteur associé au second membre,
\[
\boldsymbol{b}:=
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix}\,,
\]
et récrivons la matrice du système comme une famille de colonnes,
\[
A=
\begin{bmatrix}
\,\boldsymbol{a}_1&\boldsymbol{a}_2&\cdots&\boldsymbol{a}_n\,
\end{bmatrix}\,,
\]
où, la \(k\)-ème colonne est le vecteur de \(\mathbb{R}^m\) donné par
\[
\boldsymbol{a}_k
:=
\begin{pmatrix}
a_{1k}\\
a_{2k}\\
\vdots\\
a_{mk}
\end{pmatrix}\,.
\]
Donc
la recherche de solutions \((x_1,x_2,\dots,x_n)\)
au système \((*)\) est équivalente à demander si
le membre de droite \(\boldsymbol{b}\) appartient à la partie de \(\mathbb{R}^m\) engendrée par
les colonnes de \(A\), c'est-à-dire si on peut écrire
\(\boldsymbol{b}\) comme une combinaison linéaire des colonnes de
\(A\):
\[
x_1\boldsymbol{a}_1+x_2\boldsymbol{a}_2+\cdots +x_n\boldsymbol{a}_n=\boldsymbol{b}\,.
\]
Dans cette formulation, les inconnues \(x_1,\dots,x_n\) jouent le rôle de
coefficients de la combinaison linéaire.
Une dernière définition permettra de faire encore un pas dans
la description du système \((*)\).
Le produit d'une matrice \(A\) (\(m\times n\)) par un vecteur \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\) crée donc un vecteur \(A\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^m\). Cette transformation est l'exemple standard de ce que l'on appellera plus tard une transformation linéaire, puisqu'elle satisfait aux deux propriétés suivantes:
Lemme: Soit \(A\) une matrice \(m\times n\). Alors pour tous \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n\) et pour tout scalaire \(\lambda\in \mathbb{R}\),
Notons la matrice \(A=[\boldsymbol{a}_1\cdots\boldsymbol{a}_n]\), et les vecteurs \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} \,, \qquad \boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}\,. \] Pour la première propriété, \[\begin{aligned} A(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})&= \begin{bmatrix} \,\boldsymbol{a}_1&\boldsymbol{a}_2&\cdots&\boldsymbol{a}_n\, \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{pmatrix}\\ &=(x_1+y_1)\boldsymbol{a}_1+\cdots+(x_n+y_n)\boldsymbol{a}_n\\ &=\bigl(x_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n\bigr)+ \bigl(y_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+y_n\boldsymbol{a}_n\bigr)\\ &=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}\,. \end{aligned}\] Pour la deuxième, \[\begin{aligned} A(\lambda\boldsymbol{x})&= \begin{bmatrix} \,\boldsymbol{a}_1&\boldsymbol{a}_2&\cdots&\boldsymbol{a}_n\, \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda x_1\\ \lambda x_2\\ \vdots\\ \lambda x_n \end{pmatrix}\\ &=(\lambda x_1)\boldsymbol{a}_1+\cdots+(\lambda x_n)\boldsymbol{a}_n\\ &=\lambda (x_1\boldsymbol{a}_1)+\cdots+\lambda (x_n\boldsymbol{a}_n)\\ &=\lambda \bigl(x_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{a}_n\bigr)\\ &=\lambda\, A\boldsymbol{x}\,. \end{aligned}\]
Avec les notations introduites, on peut maintenant écrire le système \((*)\) sous une forme purement vectorielle: \[ (*):\quad A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \] L'existence d'une solution \(\boldsymbol{x}\), pour ce système, signifie donc qu'il existe au moins une façon d'écrire le membre de droite \(\boldsymbol{b}\) comme combinaison linéaire des colonnes de \(A\).
Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:45)
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