9.4 La formule \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)

Dans cette section, nous allons démontrer la propriété qui rend le déterminant réellement utile en algèbre linéaire:

Théorème: Pour toute paire de matrices \(n\times n\), \[\det(AB)=\det(A)\det(B)\,.\]

Cas simple: \(A\) est élémentaire

Nous commencerons par démontrer le résultat dans un cas particulier:

Si \(E\) est élémentaire, alors \(\det(E)\neq 0\), et pour toute matrice \(B\), \[\det(EB)=\det(E)\det(B)\,.\]

Lorsque \(E\) est de Type I, \(E=T_{i\leftrightarrow j}\), la matrice \(T_{i\leftrightarrow j}B\) étant \(B\) avec les lignes \(i\) et \(j\) échangées, on a \[ \det(T_{i\leftrightarrow j}B)=-\det(B) \] En utilisant cette relation avec \(B=I_n\), on obtient en particulier \[ \det(T_{i\leftrightarrow j})=-1\neq 0\,. \] On peut donc écrire \[ \det(T_{i\leftrightarrow j}B) =-\det(B) =\det(T_{i\leftrightarrow j})\det(B)\,. \]
Lorsque \(E\) est de Type II, \(E=D_i(\lambda)\) (avec \(\lambda\neq 0\)), \(D_i(\lambda)B\) est la matrice \(B\), dans laquelle la \(i\)-ème ligne a été multipliée par \(\lambda\), et donc \[ \det(D_i(\lambda)B)=\lambda \det(B)\,. \] En utilisant cette relation avec \(B=I_n\), on obtient en particulier \[ \det(D_i(\lambda))=\lambda\neq 0 \] On peut donc écrire \[ \det(D_i(\lambda)B) =\lambda \det(B)= \det(D_i(\lambda))\det(B)\,. \]
Finalement, lorsque \(E\) est de Type III, \(E=L_{ij}(\lambda)\), \(L_{ij}(\lambda)B\) est la matrice \(B\), dans laquelle on a rajouté \(\lambda\) fois la \(j\)-ème ligne à la \(i\)-ème. On sait que cette opération ne modifie pas le déterminant, et donc \[ \det(L_{ij}(\lambda)B)=\det(B)\,. \] En prenant \(B=I_n\), ceci donne en particulier \[ \det(L_{ij}(\lambda))=1\neq 0\,, \] et donc aussi \[ \det(L_{ij}(\lambda)B)=\det(L_{ij}(\lambda))\det(B)\,. \]

La proposition est démontrée.

Preuve du théorème

Pour montrer que \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) est vraie généralement, on va distinguer deux cas:

Si \(A\) est inversible: Dans cas, \(A\) peut s'écrire comme un produit de matrices élémentaires: \(A=E^{(k)}\cdots E^{(1)}\). Ceci permet d'écrire, en utilisant \(k-1\) fois la proposition, \[\begin{aligned} \det(A) &=\det(E^{(k)}\cdots E^{(1)})\\ &=\det(E^{(k)})\det(E^{(k-1)}\cdots E^{(1)})\\ &=\det(E^{(k)})\det(E^{(k-1)})\det(E^{(k-2)}\cdots E^{(1)})\\ &\phantom{=}\vdots\\ &=\det(E^{(k)})\cdots \det(E^{(1)})\,. \end{aligned}\] En particulier, puisque les déterminants des matrices élémentaires de ce produit sont tous non-nuls, on a montré que si \(A\) est inversible, alors \(\det(A)\neq 0\).

Mais en reproduisant essentiellement le même calcul, \[\begin{aligned} \det(AB) &=\det(E^{(k)}\cdots E^{(1)}B)\\ &=\underbrace{\det(E^{(k)})\det(E^{(k-1)})\cdots\det(E^{(1)})}_{=\det(A)}\det(B)\\ &=\det(A)\det(B)\,. \end{aligned}\]
Si \(A\) est singulière : Dans ce cas, \(A\) ne peut pas être réduite à l'identité. Notons \(\widetilde{E}^{(1)}, \dots,\widetilde{E}^{(l)}\) les transformations qui réduisent \(A\). Puisque \[ \widetilde A =\widetilde{E}^{(l)}\cdots \widetilde{E}^{(1)}A\] n'est pas la matrice identité, c'est une matrice triangulaire supérieure possédant au moins un zéro sur sa diagonale. Ceci implique que son déterminant est nul, \(\det(\widetilde{A})=0\). On peut donc écrire que \[0= \det(\widetilde A)= \det(\widetilde{E}^{(l)})\cdots \det(\widetilde{E}^{(1)})\det(A)\,. \] Puisque \(\det(\widetilde{E}^{(i)})\neq 0\) pour tout \(i\), on en déduit que \(\det(A)=0\). On a donc démontré que si \(A\) est singulière, alors \(\det(A)= 0\).

Mais si \(A\) n'est pas inversible, alors \(AB\) n'est pas inversible non plus (exercice), et donc \(\det(AB)=0\). La relation suivante est donc vérifiée: \[ \underbrace{\det(AB)}_{=0}=\underbrace{\det(A)}_{=0}\det(B)\,, \] ce qui complète la preuve du théorème.

Déterminant et inversibilité

La preuve ci-dessus (voir les passages en gras) a comme conséquence la généralisation que nous espérions, à savoir celle du critère que nous avions établi pour les matrices \(2\times 2\):

Théorème: \(A\) est inversible si et seulement si \(\det(A)\neq 0\).

Exemple: La matrice \[ A= \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0&0&0\\ 1&0&0&1&0&0&0\\ 1&0&0&0&1&0&0\\ 1&0&0&0&0&1&0\\ 1&0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix} \] est inversible, puisqu'en soustrayant à la première colonne la somme de toutes les autres, \[\begin{aligned} \det(A) &= \det \begin{pmatrix} -5&1&1&1&1&1&1\\ 0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\\ &= (-5) \det \begin{pmatrix} 1&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\\ &=-5\neq 0 \end{aligned}\]

L'utilisation du déterminant permet maintenant d'étudier l'inversibilité de matrices contenant un paramètre, en évitant de devoir étudier un système.

Exemple: Pour quelles valeurs du paramètre \(t\) la matrice \[ A= \begin{pmatrix} 0&t&-1\\ t&10&0\\ t-1&1&t \end{pmatrix} \] est-elle inversible?

En développant selon la première colonne, \[\begin{aligned} \det(A) &=(-1)t\det \begin{pmatrix} t&-1\\ 1&t \end{pmatrix} +(t-1)\det \begin{pmatrix} t&-1\\ 10&0 \end{pmatrix}\\ &= (-t)(t^2+1)+10(t-1)\\ &=-t^3+9t-10\,. \end{aligned}\] On sait sait donc que \(A\) est inversible si et seulement si \(t\) n'est pas racine du polynôme \(P(t)=-t^3+9t-10\). On remarque que \(t=2\) est racine de \(P\), ce qui permet de factoriser (par division Euclidienne par exemple): \[ P(t)=(t-2)(-t^2-2t+5)\,. \] Comme les racines de \(-t^2-2t+5\) sont \(-1\pm\sqrt{6}\), on en déduit que \(A\) est inversible si et seulement si \(t\not \in \{2,-1-\sqrt{6},-1+\sqrt{6}\}\).

Le déterminant de l'inverse

Lorsque \(A\) est inversible, \(AA^{-1}=I_n\), et la formule démontrée plus haut permet d'écrire \[ 1 = \det(I_n) = \det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1}) \,, \] qui donne: \[ \boxed{ \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}\,. } \]

Le déterminant comme invariant de similitude

Deux matrices \(n\times n\), \(A\) et \(B\) sont semblables si il existe une matrice \(n\times n\) inversible \(M\) telle que \[ A=M^{-1}BM\,. \] Lorsque \(A\) et \(B\) sont semblables, on note \(A\sim B\).

Exemple: Les matrices \[ A= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \,,\qquad B= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix} \] sont semblables. En effet, en prenant \(M= \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\), qui est inversible, on obtient \[ M^{-1}BM= \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{pmatrix} =A \]

Si \(A\sim B\), alors \(\det(A)=\det(B)\).

(On dit que le déterminant est un invariant de similitude.)

\[\begin{aligned} \det(A) &=\det(M^{-1}BM)\\ &=\det(M^{-1})\det(B)\det(M)\\ &=\det(B)\det(M^{-1})\det(M)\\ &=\det(B)\det(M^{-1}M)\\ &=\det(B)\det(I_n)\\ &=\det(B)\,. \end{aligned}\]

Le déterminant peut donc être utilisé pour démontrer à moindre frais que deux matrices ne sont pas semblables:

Exemple: Les matrices \[ A= \begin{pmatrix} 2&0&0\\ 1&0&-1\\ 0&3&1 \end{pmatrix} \qquad\text{ et } B= \begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&2&13\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} \] ne sont pas semblables, car \(\det(A)=6\) (en développant selon la première ligne), alors que \(\det(B)=-2\).

Exemple: Un exemple important de matrices semblables sont les matrices associées à une application linéaire \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), relativement à des bases différentes \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\). En effet, on sait que par la formule du changement de base, \[ [T]_\mathcal{B}={P_{\mathcal{C}\mathcal{B}}}^{-1}[T]_\mathcal{C} P_{\mathcal{C}\mathcal{B}}\,, \] et donc \([T]_\mathcal{B}\sim[T]_\mathcal{C}\). Par le lemme, \[ \det([T]_\mathcal{B})=\det([T]_\mathcal{C})\,. \]

Quiz 9.4-1 : Soient \(A,B\) deux matrices \(n\times n\) quelconques. Vrai ou faux?

() \(\det(AB)=\det(BA)\)
() Pour toute matrice inversible \(C\), \[ \det(ABCABC^{-1}ABCABC^{-1})=\det(A)^4\det(B)^4 \]

Quiz 9.4-2 : Vrai ou faux?

() Toute matrice est semblable à elle-même.
() Si deux matrices ont le même déterminant, elles sont semblables.
() Si \(A\sim B\), alors il existe une matrice \(Q\), inversible, telle que \(A=QBQ^{-1}\).
() Une matrice et sa réduite sont toujours semblables.
() Si \(A\sim B\), alors \(B\sim A\).

---- (Dernière modification: 2022-11-03 (11:15:28)) ----