7.2 Définition et propriétés de base

Voyons le problème d'un point de vue un peu plus général.

Pouvoir isoler \(\boldsymbol{x}\) dans \(T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) signifie, en termes d'application linéaire, que l'on cherche à récupérer la préimage de \(\boldsymbol{b}\). Pour que cette préimage soit bien définie et unique pour tout \(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R}^m\), il faut que \(T\) soit bijective.

Or nous avons vu qu'une application linéaire ne peut être bijective que si elle a des espaces de départ et d'arrivée de mêmes dimensions: \[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n \] On peut aussi montrer que dans ce cas, la réciproque \(T^{-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) est également linéaire (exercice); on peut donc lui associer une matrice: \[ T^{-1}(\boldsymbol{y})=B\boldsymbol{y}\,. \] Les relations \[\begin{aligned} T(T^{-1}(\boldsymbol{y}))&=\boldsymbol{y}\qquad \forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^m\,,\\ T^{-1}(T(\boldsymbol{x}))&=\boldsymbol{x}\qquad \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\,. \end{aligned}\] s'expriment donc, en termes des matrices et du produit matriciel, \[\begin{aligned} AB\boldsymbol{y}&=\boldsymbol{y}\qquad \forall \boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^m\,,\\ BA\boldsymbol{x}&=\boldsymbol{x}\qquad \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\,. \end{aligned}\] Or ces deux dernières conditions peuvent s'exprimer simplement par \[AB=I_n\,,\qquad BA=I_n\,.\] La matrice \(B\) sera appelée inverse de \(A\).

Par la discussion précédente, on ne peut parler d'inverse que pour des matrices carrées, c'est à dire ayant autant de lignes que de colonnes.

Soit \(A\) une matrice \(n\times n\).

Remarque: Puisque deux matrices \(A\) et \(B\) ne commutent a priori pas, la condition ''\(AB=BA=I_n\)'' représente en fait deux conditions, à savoir \(AB=I_n\) et \(BA=I_n\).

Exemple: La matrice \(A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix} \) est inversible. En effet, en définissant \[ B:= \begin{pmatrix} -2&1\\ 3/2&-1/2 \end{pmatrix}\, , \] on remarque que \[ AB= \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2&1\\ 3/2&-1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2\,, \] et que \[ BA= \begin{pmatrix} -2&1\\ 3/2&-1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} =I_2\,. \] Donc \(A\) est inversible, et son inverse est \(A^{-1}=B\).

Dans cet exemple, on a juste vérifié que \(A\) était inversible en vérifiant que le produit de \(A\) avec \(B\) donnait bien la matrice identité. Mais en général, on aimerait des critères qui nous permettent d'étudier une matrice donnée \(A\), de savoir si elle est inversible ou pas, et si oui de calculer son inverse.

Par exemple, la matrice \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&2&2&2&2&2\\ 2&1&2&2&2&2&2\\ 2&2&1&2&2&2&2\\ 2&2&2&1&2&2&2\\ 2&2&2&2&1&2&2\\ 2&2&2&2&2&1&2\\ 2&2&2&2&2&2&1 \end{pmatrix} \] est-elle inversible? Si oui, quel est son inverse?

Exemple: La matrice \(A= \begin{pmatrix} 0&0\\ 1&1 \end{pmatrix} \) est singulière. En effet, quelle que soit \(B\) (\(2\times 2\)), le coefficient \((AB)_{11}\) est toujours égal à \(0\), et donc \(AB\) ne peut pas être égale à \(I_2\). Cet exemple montre qu'il ne suffit pas de ne pas être identiquement nulle pour ne pas être inversible.

Listons encore quelques propriétés de base de la matrice inverse.

Soit \(A\) une matrice \(n\times n\) inversible. Alors
  1. L'inverse \(A^{-1}\) est unique,
  2. \(A^{-1}\) est aussi inversible, et \((A^{-1})^{-1}=A\),
  3. Pour tout scalaire \(\lambda\neq 0\), \(\lambda A\) est aussi inversible, et \((\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}\),
  4. \(A^T\) est aussi inversible, et \((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\).
De plus, si \(M\) est une autre matrice \(n\times n\) inversible, alors \(AM\) est inversible, et \[ (AM)^{-1}=M^{-1}A^{-1}\,. \]

  1. Supposons qu'il existe deux matrices \(C,B\) telles que \(AC=CA=I_n\), \(AB=BA=I_n\). Alors \[ B=BI_n=B(AC)=(BA)C=I_nC=C\,. \]
  2. En considérant \(A\) comme la ''matrice de départ'', l'inversibilité signifie que \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\). Or ces deux conditions peuvent aussi se lire en considérant \(A^{-1}\) comme la ''matrice de départ'', et elles nous disent bien que \(A^{-1}\) est inversible et que son inverse est égal à \(A\).
  3. Par simple vérification, en utilisant les propriétés de la multiplication d'une matrice par un scalaire, \[ (\lambda A)(\tfrac{1}{\lambda}A^{-1})= (\lambda\tfrac{1}{\lambda})(AA^{-1})=I_n \] De même, \((\tfrac{1}{\lambda}A^{-1})(\lambda A)=I_n\).
  4. Par simple vérification, \[A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=I_n^T=I_n\,.\] De même, \((A^{-1})^TA^T=I_n\).
Finalement, si \(M\) est aussi inversible, alors \[\begin{aligned} (AM)(M^{-1}A^{-1})&= A(\underbrace{MM^{-1}}_{=I_n})A^{-1}=AA^{-1}=I_n\,,\\ (M^{-1}A^{-1})(AM)&= M^{-1}(\underbrace{AA^{-1}}_{=I_n})M=MM^{-1}=I_n\,,\\ \end{aligned}\] et donc \(AM\) est inversible et son inverse est \(M^{-1}A^{-1}\).

Inverse et résolution de systèmes \(n\times n\)

Considérons un système \(n\times n\), \[ A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\,, \] dans lequel la matrice \(A\) est inversible. On peut alors résoudre cette équation em multipliant les deux côtés de l'inégalité ci-dessus par \(A^{-1}\), \[ \underbrace{A^{-1}A}_{=I_n}\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\,, \] qui donne directement la solution \[\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\,.\] Si cette méthode peut paraître élégante, elle a le désavantage (en plus de ne pouvoir être appliquée que lorsque \(A\) est inversible) d'être plus coûteuse en termes de calcul, puisqu'elle

Quiz 7.2-1 : Soit \(A\) une matrice \(n\times n\). Vrai ou faux?
  1. Si au moins un coefficient de \(A\) est nul, alors \(A\) n'est pas inversible.
  2. Si tous les coefficients de \(A\) sont différents de zéro, alors \(A\) est inversible.
  3. Si \(A\) est inversible, alors la division \(\frac{I_n}{A}\) existe.
  4. Si \(A\) est inversible, et si ses coefficients sont \(a_{ij}\), alors les coefficients de la matrice inverse \(A^{-1}\) sont \(\frac{1}{a_{ij}}\).
Quiz 7.2-2 : Vrai ou faux?
  1. Si \(A\) est \(n\times (n+1)\) et inversible, alors son inverse est une matrice \((n+1)\times n\).
  2. Si \(A\) et \(B\) sont \(n\times n\), inversibles, alors \(A+B\) est inversible, et \((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)
  3. Si \(A\), \(B\) et \(C\) sont \(n\times n\), inversibles, alors \(ABC\) est inversible, et \((ABC)^{-1}=A^{-1}B^{-1}C^{-1}\).
  4. Si \(A\), \(B\) et \(C\) sont \(n\times n\), inversibles, alors \(ABC\) est inversible, et \((ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\).

Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:45)

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