10.5 Multiplicités algébriques et géométriques

L'utilisation des valeurs et vecteurs propres, dans l'étude d'une application linéaire, sera

Soit \(\lambda_k\) une valeur propre d'une matrice \(A\). La multiplicité algébrique de \(\lambda_k\) est le plus grand entier \(n\) tel que \((\lambda-\lambda_k)^n\) divise \(P_A(\lambda)\); on note cet entier \(\mathrm{mult}_a(\lambda_k)\).

En d'autres termes, si la factorisation complète du polynôme caractéristique contient \[ P_A(\lambda)=\cdots (\lambda-\lambda_k)^n\cdots\,, \] alors \(\mathrm{mult}_a(\lambda_k)=n\).

Remarque: On sait par le théorème fondamental de l'algèbre que \(P_A(\lambda)\) possède au plus \(n\) racines réelles. Ceci signifie que si \(A\) possède les valeurs propres \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\), alors \[ \sum_{j=1}^k\mathrm{mult}_a(\lambda_j)\leqslant n\,. \]

Exemple: Pour notre matrice \[A= \begin{pmatrix} 1&6\\ 5&2 \end{pmatrix} \,,\] nous avions trouvé \[ P_A(\lambda)= (\lambda+4)^{\color{magenta}1} (\lambda-7)^{\color{blue}1}\,, \] qui donne \(\mathrm{mult}_a(-4)={\color{magenta}1}\), \(\mathrm{mult}_a(7)={\color{blue}1}\).

Exemple: Le polynôme caractéristique de la matrice identité \(I_n\) étant \[ P_{I_n}(\lambda)=(1-\lambda)^{\color{blue}n}\,, \] l'unique valeur propre \(\lambda_1=1\) est de multiplicité algébrique \(\mathrm{mult}_a(1)={\color{blue}n}\).

Soit \(\lambda_k\) une valeur propre d'une matrice \(A\). La multiplicité géométrique de \(\lambda_k\) est la dimension de son espace propre: \[\mathrm{mult}_g(\lambda_k):= \dim(E_{\lambda})=\dim(\mathrm{Ker}(A-\lambda_kI_n))\,.\]

Remarque: Par définition, une multiplicité géométrique est toujours \(\geqslant 1\).

Théorème: Soit \(\lambda_k\) une valeur propre de \(A\). Alors \[\mathrm{mult}_g(\lambda_k)\leqslant \mathrm{mult}_a(\lambda_k)\,.\]

Considérons une valeur propre de \(A\), qu'on notera \(\lambda_0\) pour simplifier, et son espace propre son espace propre associé, \(E_{\lambda_0}\). Posons \[k:= \mathrm{mult}_g(\lambda_0)=\dim(E_{\lambda_0})\,,\] et considérons des vecteurs propres \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\) formant une base de \(E_{\lambda_0}\). Complétons cette famille en une base de \(\mathbb{R}^n\): \[ \mathcal{B}=(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k,\boldsymbol{w}_{k+1},\dots,\boldsymbol{w}_n) \] Soit \(A'\) la matrice de l'application linéaire \(T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\) relative à la base \(\mathcal{B}\): \[ A'= \bigl[ [T(\boldsymbol{v}_1)]_{\mathcal{B}} \cdots [T(\boldsymbol{v}_k)]_{\mathcal{B}} [T(\boldsymbol{w}_{k+1})]_{\mathcal{B}} \cdots [T(\boldsymbol{w}_{n})]_{\mathcal{B}} \bigr] \] Puisque chaque \(\boldsymbol{v}_j1\) est vecteur propre de \(T\), \(T(\boldsymbol{v}_j)=\lambda_0\boldsymbol{v}_j\), \(A'\) a la structure suivante: \[ A'= \left( \begin{array}{ccc|ccc} \lambda_0&&&&&\\ &\ddots&&&B&\\ &&\lambda_0&&&\\ \hline &&&&&\\ &0&&&C&\\ &&&&& \end{array} \right) \] Maintenant, rappelons que \(A\) et \(A'\) sont semblables, et possèdent donc le même polynôme caractéristique: \[ P_A(\lambda)=P_{A'}(\lambda)\,. \] Mais par la structure de \(A'\) donnée ci-dessus, \[\begin{aligned} P_{A'}(\lambda)&= \det(A'-\lambda I_n)\\ &= \det \left( \begin{array}{ccc|ccc} \lambda_0-\lambda&&&&&\\ &\ddots&&&B&\\ &&\lambda_0-\lambda&&&\\ \hline &&&&&\\ &0&&&C-\lambda I_{n-k}&\\ &&&&& \end{array} \right)\\ &=(\lambda_0-\lambda)^k\det(C-\lambda I_{n-k})\,. \end{aligned}\]

Exemple: Reprenons la matrice vue plus haut: \[ A= \begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ -1&1&-1\\ -1&-1&1 \end{pmatrix}\,. \] Nous avions calculé \[ P_A(\lambda)=-(1+\lambda)^{\color{magenta}1}(2-\lambda)^{\color{blue}2}\,, \] Nous avons donc deux valeurs propres,

En ce qui concerne les espaces propres, \[ E_{-1}=\mathrm{Ker}(A+I_n)=\mathrm{Vect}\left\{ {\color{green} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} } \right\}\,, \] qui implique \(\mathrm{mult}_g(\lambda_1)={\color{green}1}\), et \[ E_{2}=\mathrm{Ker}(A-2I_n)=\mathrm{Vect}\left\{ {\color{red} \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} } , {\color{red} \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} } \right\}\,, \] qui implique \(\mathrm{mult}_g(\lambda_2)={\color{red}2}\). Donc dans cet exemple, \[\begin{aligned} \mathrm{mult}_a(\lambda_1)&=\mathrm{mult}_g(\lambda_1)\,,\\ \mathrm{mult}_a(\lambda_2)&=\mathrm{mult}_g(\lambda_2)\,. \end{aligned}\]

Exemple: Considérons la matrice \[ B= \begin{pmatrix} 3&1\\ 0&3 \end{pmatrix} \] D'une part, son polynôme caractéristique est donné par \[ P_B(\lambda)=(3-\lambda)^{\color{magenta}2}\,, \] et donc \(B\) ne possède qu'une valeur propre \(\lambda_1=3\), de multiplicité algébrique \(\mathrm{mult}_a(\lambda_1)={\color{magenta}2}\). Mais on a d'autre part que \[ E_1 =\mathrm{Ker}(A-3I_2)=\mathrm{Vect}\left\{ {\color{green} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} } \right\}\,, \] qui implique \(\mathrm{mult}_g(\lambda_1)={\color{green}1}\). Donc dans ce cas, \[\mathrm{mult}_g(\lambda_1)\lt\mathrm{mult}_a(\lambda_1)\,.\]

Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:46)

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