Exemple: Considérons, dans \(C([0,\pi])\), le sous-espace \(\mathbb{P}_2\) des polynômes de degré au plus égal à \(2\). Choisissons \(f\in C([0,\pi])\), par exemple \(f(t)=\sin(t)\), et cherchons l'élément de \(p\in \mathbb{P}_2\) qui approxime le mieux \(f\), au sens des moindres carrés. Pour ce faire, nous allons projeter \(f\) sur \(\mathbb{P}_2\), pour trouver \[ p(t)=\mathrm{proj}_{\mathbb{P}_2}(f)(t)=\lambda_0+\lambda_1t+\lambda_2t^2\,. \]

Remarquons pour commencer que dans \(\mathbb{P}_2\), la base canonique \(\mathcal{B}_{\mathrm{can}}=(e_0,e_1,e_2)\) n'est pas orthogonale, puisque \[\begin{aligned} (e_0|e_1)&=\int_0^\pi 1\cdot t\,dt=\frac{\pi^2}{2}\neq 0\\ (e_0|e_2)&=\int_0^\pi 1\cdot t^2\,dt=\frac{\pi^3}{3}\neq 0\\ (e_1|e_2)&=\int_0^\pi t\cdot t^2\,dt=\frac{\pi^4}{4}\neq 0\,. \end{aligned}\] Appliquons le procédé de Gram-Schmidt pour produire une base orthogonale \(\mathcal{B}=(e_0',e_1',e_2')\). On prend \(e_0'=e_0\), \(e_1'=e_1-\mathrm{proj}_{e_0}(e_1)\), qui donne \[ e_1'(t)=t-\frac{(e_1|e_0)}{(e_0|e_0)}1=t-\frac{\pi^2/2}{\pi}=t-\frac{\pi}{2}\,, \] puis \[\begin{aligned} e_2' &=e_2-\mathrm{proj}_{\mathrm{Vect}\{e_0,e_1\}}(e_2)\\ &=e_2-\mathrm{proj}_{\mathrm{Vect}\{e_0',e_1'\}}(e_2)\\ &=e_2 -\frac{(e_2|e_0')}{(e_0'|e_0')}e_0' -\frac{(e_2|e_1')}{(e_1'|e_1')}e_1'\,, \end{aligned}\] qui donne \[\begin{aligned} e_2'(t) &=t^2 -\frac{(e_2|e_0')}{(e_0'|e_0')}1 -\frac{(e_2|e_1')}{(e_1'|e_1')}(t-\tfrac{\pi}{2})\\ &=t^2 -\frac{\pi^3/3}{\pi}1 -\frac{\pi^4/12}{\pi^3/12}(t-\tfrac{\pi}{2})\\ &=t^2-\pi t+\frac{\pi^2}{6} \end{aligned}\] On sait maintenant que \[ p=\mathrm{proj}_{\mathbb{P}_2}(f)= \frac{(f|e_0')}{(e_0'|e_0')}e_0' +\frac{(f|e_1')}{(e_1'|e_1')}e_1' +\frac{(f|e_2')}{(e_2'|e_2')}e_2'\,, \] qui donne la projection: \[\begin{aligned} p(t) &= \frac{2}{\pi}1 +\frac{0}{\pi^3/12}(t-\frac{\pi}{2}) +\frac{-4+\pi^2/3}{\pi^5/180}(t^2-\pi t+\pi^2/6)\\ &= \frac{-4+\pi^2/3}{\pi^5/180}(t^2-\pi t) + \frac{2}{\pi} +\frac{-4+\pi^2/3}{\pi^3/30}\\ &= -0.0504 +1.3122\dots t -0.4176\dots t^2 \end{aligned}\]