Dans ce chapitre, nous allons appliquer quelques-unes des
notions relatives aux applications linéaires \(T:V\to V'\),
vues dans le chapitre précédent,
au cas particulier \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\).
Nous avions vu que
toute application \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) de
la forme \(T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\) est linéaire, et nous
savons depuis la dernière section du dernier chapitre
que la réciproque est vraie:
Théorème: Si \(T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) est linéaire, alors il existe une unique matrice \(A\) (\(m\times n\)) telle que \[ T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\,,\qquad \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\,. \] De plus, la matrice \(A\) est celle dont les colonnes sont les images par \(T\) des vecteurs de la base canonique: \[ A= \bigl[ T(\boldsymbol{e}_1) \cdots T(\boldsymbol{e}_n) \bigr]\,. \]
Par ce que nous savons de la section précédente, \(A\) n'est autre que \([T]_{\mathcal{B}_{\mathrm{can}}'\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\), où \(\mathcal{B}_{\mathrm{can}}\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^n\), et \(\mathcal{B}_{\mathrm{can}}'\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^m\).
Exemple: Considérons l'application linéaire \(T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2\) déjà considérée précédemment: \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\boldsymbol{x} \mapsto T(\boldsymbol{x}):= \begin{pmatrix} -x_1+3x_2+5x_3\\ x_3+7x_1 \end{pmatrix} \] En calculant les images des vecteurs de base, \[\begin{aligned} T(\boldsymbol{e}_1) &=T\Bigl( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \Bigr) = \begin{pmatrix} -1+3\cdot 0+5\cdot 0\\ 0+7\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 7 \end{pmatrix}\\ T(\boldsymbol{e}_2) &=T\Bigl( \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \Bigr) = \begin{pmatrix} 0+3\cdot 1+5\cdot 0\\ 0+7\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\\ T(\boldsymbol{e}_3) &=T\Bigl( \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \Bigr) = \begin{pmatrix} 0+3\cdot 0+5\cdot 1\\ 1+7\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}\,, \end{aligned}\] ce qui donne la matrice associée à \(T\): \[ A= \begin{pmatrix} -1&3&5\\ 7&0&1 \end{pmatrix} \]
Exemple: Considérons l'application \(T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\): \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\boldsymbol{x} \mapsto T(\boldsymbol{x}):= x_2-3x_1\,. \] (On montre facilement que cette application est linéaire.) En calculant les images des vecteurs de base, \[\begin{aligned} T(\boldsymbol{e}_1) &=T\Bigl( \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \Bigr) = 0-3\cdot 1=-3\,,\\ T(\boldsymbol{e}_2) &=T\Bigl( \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \Bigr) = 1-3\cdot 0=1\,,\\ T(\boldsymbol{e}_3) &=T\Bigl( \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \Bigr) = 0-3\cdot 0=0\,, \end{aligned}\] ce qui donne la matrice \(1\times 3\) associée à \(T\): \[ A= \bigl[ T(\boldsymbol{e}_1)\,T(\boldsymbol{e}_2)\, T(\boldsymbol{e}_3) \bigr] = \begin{pmatrix} -3&1&0 \end{pmatrix} \] En effet, \[ T(\boldsymbol{x})= A\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} -3&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =-3x_1+x_2\,. \]
Remarque:
Les applications linéaires
\(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)
définies jusqu'ici ont toujours été définies
en composantes, c'est-à-dire en définissant
les composantes de \(T(\boldsymbol{x})\in \mathbb{R}^m\) à l'aide
des composantes de \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\), comme dans les deux exemples
précédents.
Il faut garder à l'esprit que pour l'instant, ces composantes sont toujours des
composantes associées à la base canonique.
En général, une application n'a pas besoin d'être définie
à l'aide de composantes (voir les exemples de transformations géométriques plus
loin dans le chapitre), et on pourra effectivement lui associer une matrice,
mais qui dépendra fortement de la base choisie.
Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:45)
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