Analyse réelle | S. Friedli

6.1 Définition

Le produit de deux matrices est motivé par la composition d'applications linéaires.

Or lorsqu'on veut composer deux applications, il faut que les ensembles qui apparaissent dans leurs définitions soient compatibles.

Soit donc \[T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\] une application linéaire, dont la matrice \(m\times n\) est notée \(A\). Si \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\), la \(k\)-ème composante (\(1\leqslant k\leqslant m\)) de \(T(\boldsymbol{x})\) est donnée par \[ (T(\boldsymbol{x}))_k=(A\boldsymbol{x})_k=\sum_{j=1}^n a_{kj}x_j\,. \]
Soit ensuite \[S:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p\] une autre application linéaire, dont la matrice \(p\times m\) est notée \(B\). Si \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^m\), la \(k\)-ème composante (\(1\leqslant k\leqslant p\)) de \(S(\boldsymbol{x})\) est donnée par \[ (S(\boldsymbol{x}))_k=(B\boldsymbol{x})_k=\sum_{j=1}^m b_{kj}x_j\,. \]

Puisque l'ensemble d'arrivée de \(T\) est l'ensemble de départ de \(S\), on peut les composer:

La composition est définie par \[\begin{aligned} S\circ T:\mathbb{R}^n&\to \mathbb{R}^p \\ \boldsymbol{x}&\mapsto (S\circ T)(\boldsymbol{x}):= S(T(\boldsymbol{x}))\,. \end{aligned}\]

Attention, même si on lit le symbole ''\(S\circ T\)'' de gauche à droite, en disant ''\(S\) composée avec \(T\)'', c'est pourtant \(T\) que l'on applique en premier, suivie de \(S\)!

On peut vérifier (exercice!) que la composée \(S\circ T\) est linéaire; elle peut donc être représentée par une matrice. Quelle est cette matrice?

Calculons la \(k\)-ème composante de \((S\circ T)(\boldsymbol{x})\): \[\begin{aligned} (S\circ T)(\boldsymbol{x})_k =(S(T(\boldsymbol{x})))_k &=(B(A\boldsymbol{x}))_k\\ &=\sum_{j=1}^mb_{kj}(A\boldsymbol{x})_j\\ &={\color{red}\sum_{j=1}^m}b_{kj}{\color{blue}\sum_{l=1}^n}a_{jl}x_l\\ &={\color{blue}\sum_{l=1}^n} \Bigl( \underbrace{{\color{red}\sum_{j=1}^m}b_{kj}a_{jl}}_{=:c_{kl}} \Bigr)x_l\,. \end{aligned}\] On voit qu'après avoir interverti les sommes sur \(j\) et \(l\), on a pu définir des coefficients \(c_{kl}\), qui sont les coefficients d'une matrice \(p\times n\), notée \(C\), qui permet d'écrire \[ (S\circ T)(\boldsymbol{x})_k =\sum_{l=1}^n c_{kl}x_l =(C\boldsymbol{x})_k\,. \] On a donc trouvé la matrice associée à \(S\circ T\), et on sait calculer ses coefficients en fonction de ceux de \(A\) et \(B\).

Soient \(B=(b_{ij})\) une matrice \(p\times m\), et \(A=(a_{ij})\) une matrice \(m\times n\). Le produit matriciel de \(B\) par \(A\) est la matrice \(p\times n\), notée \(C=BA\), dont les coefficients sont définis par \[ c_{kl}:= \sum_{j=1}^mb_{kj}a_{jl}\,. \]

L'expression ci-dessus pour le coefficient \(c_{kl}\) montre que ce dernier se calcule en parcourant la \(k\)-ème ligne de \(A\) et la \(l\)-ème colonne de \(B\).

Exemple: Calculons un produit \(BA=C\), pour des matrices \(4\times 4\): \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1&2&-2&0\\ {\color{red}3}&{\color{red}2}&{\color{red}-2}&{\color{red}1}\\ -1&1&0&1\\ 5&2&-1&6 \end{pmatrix}}_{B} \underbrace{ \begin{pmatrix} 0&2&{\color{blue}-1}&5\\ 3&1&{\color{blue}5}&-3\\ 2&2&{\color{blue}-1}&1\\ 0&7&{\color{blue}1}&2 \end{pmatrix}}_{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 2&0&11&-3\\ 2&11&\mathbf{10}&9\\ 3&6&7&-6\\ 4&52&12&30 \end{pmatrix} }_{C} \] Comme exemple, on a indiqué le calcul de \[\begin{aligned} c_{23}&=\sum_{j=1}^4b_{2j}a_{j3}\\ &=b_{21}a_{13}+b_{22}a_{23}+b_{23}a_{33}+b_{24}a_{43}\\ &={\color{red}3}\cdot{\color{blue}(-1)} +{\color{red}2}\cdot{\color{blue}5} +{\color{red}(-2)}\cdot{\color{blue}(-1)} +{\color{red}1}\cdot {\color{blue}1}=\mathbf{10} \end{aligned}\]

On peut multiplier deux matrices de dimensions différentes, \(BA\), mais ces dimensions doivent être compatibles: le nombre de colonnes de \(B\) doit être égal au nombre de lignes de \(A\).

Exemple: Le produit d'une \(3\times 2\) par une \(2\times 4\) est bien défini: \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ e&f \end{pmatrix} }_{3\times 2} \underbrace{ \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8 \end{pmatrix} }_{2\times 4} = \underbrace{ \begin{pmatrix} a+5b&2a+6b&3a+7b&4a+8b\\ c+5d&2c+6d&3c+7d&4c+8d\\ e+5f&2e+6f&3e+7f&4e+8f \end{pmatrix} }_{3\times 4} \] Par contre, dans l'ordre inverse, le produit \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8 \end{pmatrix} }_{2\times 4} \underbrace{ \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ e&f \end{pmatrix} }_{3\times 2} \qquad \text{n'est pas défini!} \]

Quelques remarques:

Un vecteur \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\) peut s'interpréter comme une matrice \(n\times 1\). Donc la multiplication d'une matrice \(m\times n\) par \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\), peut s'interpréter comme le produit matriciel d'une \(m\times n\) par une \(n\times 1\), qui donne une \(A\boldsymbol{x}\) qui est \(m\times 1\), c'est-à-dire un vecteur de \(\mathbb{R}^m\).
Pour le produit d'une \(1\times n\) par une \(n\times 1\), on obtient une matrice \(1\times 1\), qui n'est autre qu'un réel: \[ \underbrace{ \begin{pmatrix} x_1&x_2&\dots&x_n \end{pmatrix}}_{1\times n} \underbrace{ \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}}_{n\times 1} =\underbrace{x_1y_1+\cdots+x_ny_n}_{\in \mathbb{R}}\,. \]
Par contre, le produit d'une \(m\times 1\) par une \(1\times n\) donne évidemment une \(m\times n\). Par exemple, \[ \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&y&z&t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax&ay&az&at\\ bx&by&bz&bt\\ cx&cy&cz&ct \end{pmatrix} \]
Considérons le produit de \(A\) (\(m\times n\)) par \(B\) (\(n\times p\)). Si on exprime \(B\) à l'aide de ses \(p\) colonnes, qui sont des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) \[ B=[\boldsymbol{b}_1\cdots \boldsymbol{b}_p]\,, \] alors le produit \(AB\) peut s'écrire à l'aide de ses \(p\) colonnes: \[ AB=[A\boldsymbol{b}_1\cdots A\boldsymbol{b}_p]\,, \] où chaque colonne \(A\boldsymbol{b}_k\in \mathbb{R}^m\)