Soit \(n=\dim(V)\), et soit \(p=\dim(\mathrm{Ker}(T))\). Puisque \(\mathrm{Ker}(T)\) est un sous-espace vectoriel de \(V\), on a forcément que \(p\leqslant n\). Ce que l'on doit donc montrer, c'est que \(\dim(\mathrm{Im} (T))=n-p\).

Si \(p=n\), on a \(\mathrm{Im} (T)=\{0'\}\) (l'élément nul de \(V'\)), et donc \(\dim(\mathrm{Im} (T))=0\), et le théorème est démontré.

Si \(p\lt n\), posons \(r:= n-p\), qui est par définition plus grand ou égal à \(1\). Nous allons montrer que \(\dim(\mathrm{Im} (T))=r\). Pour ce faire, commençons par considérer une base \(\mathcal{B}_{\mathrm{Ker}(T)}\) de \(\mathrm{Ker}(T)\): \[ \mathcal{B}_{\mathrm{Ker}(T)}=\bigl(v_1,\dots,v_p\bigr)\,. \] Puisque \(p\lt n\), \(\mathcal{B}_{\mathrm{Ker}(T)}\) n'est pas une base de \(V\). Mais on peut malgré tout la compléter en rajoutant \(n-p=r\) vecteurs, afin d'obtenir une base de \(V\): \[ \mathcal{B}_V=\bigl(v_1,\dots,v_p,w_1,\dots,w_r\bigr)\,. \] Montrons maintenant que la famille \[ \mathcal{B}'=\bigl(T(w_1),\dots,T(w_r)\bigr)\, \] est une base de \(\mathrm{Im} (T)\).

1. \(\mathcal{B}'\) est libre. En effet, considérons une combinaison linéaire nulle, \[ \alpha_1T(w_1)+\dots+\alpha_rT(w_r)=0\,. \] (On va montrer que \(\alpha_1=\dots=\alpha_r=0\).) Par la linéarité de \(T\), on peut écrire cette dernière comme \[ T(\alpha_1w_1+\dots+\alpha_rw_r)=0\,, \] qui indique que le vecteur \(\alpha_1w_1+\dots+\alpha_rw_r\) est dans \(\mathrm{Ker}(T)\). On peut donc le décomposer dans la base \(\mathcal{B}_{\mathrm{Ker}(T)}\): \[ \alpha_1w_1+\dots+\alpha_rw_r= \lambda_1v_1+\dots\lambda_pv_p\,. \] Or on peut récrire cette dernière comme \[ \lambda_1v_1+\dots\lambda_pv_p- \alpha_1w_1-\dots-\alpha_rw_r=0\,. \] Comme \(\mathcal{B}_V=(v_1,\dots,v_p,w_1,\dots,w_r)\) est une base de \(V\), on a donc que \[ \lambda_1=\dots=\lambda_p=-\alpha_1=\dots=-\alpha_r=0\,. \] Ainsi, \(\alpha_1=\dots=\alpha_r=0\), ce qui démontre l'affirmation.
2. \(\mathcal{B}'\) engendre \(\mathrm{Im} (T)\). En effet, considérons un \(v'\in \mathrm{Im} (T)\), c'est-à-dire un élément \(v'\in V'\) pour lequel il existe un \(v\in V\) tel que \(v'=T(v)\). Puisque l'on peut décomposer \(v\) dans la base \(\mathcal{B}_V\), \[ v=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r+\lambda_{r+1}w_1+\cdots+\lambda_nw_p\,, \] on a donc que \[\begin{aligned} v'&=T(v)\\ &=T(\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r+\lambda_{r+1}w_1+\cdots+\lambda_nw_p)\\ &=\lambda_1T(v_1)+\cdots+\lambda_rT(v_r)+\lambda_{r+1}T(w_1)+\cdots+\lambda_nT(w_p)\\ &=\lambda_{r+1}T(w_1)+\cdots+\lambda_nT(w_p)\,. \end{aligned}\] (Dans la dernière ligne, on a utilisé le fait que chaque \(v_k\in \mathrm{Ker}(T)\), et donc chaque \(T(v_k)=0\).) Mais cette dernière relation implique que \(\mathcal{B}'\) engendre bien \(\mathrm{Im} (T)\).

Ainsi, \(\mathcal{B}'\) est une base de \(\mathrm{Im} (T)\), et comme elle contient \(r\) éléments, on a que \(\dim(\mathrm{Im} (T))=r\). On a donc bien que \[\begin{aligned} \dim(\mathrm{Ker}(T))+\dim(\mathrm{Im} (T)) &=p+r\\ &=p+(n-p)=n=\dim(V)\,. \end{aligned}\]