La théorie du déterminant, que nous allons aborder dans ce chapitre, est un sujet central en algèbre linéaire. Nous ne le présenterons pas dans sa forme la plus générale, et ne démontrerons pas tous les résultats. Notre but sera de présenter les propriétés de base du déterminant, et de voir leurs conséquences.
Nous avons déjà rencontré le déterminant lorsque nous avons étudié
l'inversibilité pour les matrices \(2\times 2\). En effet, nous avons vu qu'une
matrice
\[A=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\]
est inversible si et seulement si son déterminant, qui est le nombre
défini par
\[
\det(A):= ad-bc\,,
\]
est non-nul.
Pouvoir savoir si une matrice \(2\times 2\) est
inversible ou pas, simplement en calculant un
nombre et en vérifiant s'il est nul ou pas, représente certainement
un résultat intéressant
du point de vue théorique, mais l'étendre au cas \(n\times n\) ne sera pas sans
difficulté.
En effet, dans le cas \(n\times n\),
nous avons vu quelques caractérisations équivalentes
de l'inversibilité, mais toutes étaient de nature plus calculatoire, et
toutes impliquaient plus ou moins l'étude d'un système linéaire.
Pour motiver ce que nous allons faire dans le cas \(n\times n\), nous allons
revenir sur le cas \(2\times 2\), et regarder de plus près cette fonction
\(A\mapsto \det(A)\), pour nous rendre compte de certaines caractéristiques,
et sans du tout nous préoccuper de l'inversibilité.
Plutôt que de voir une matrice \(2\times 2\) comme un tableau de \(4\) nombres rangés dans une grille, voyons la comme la donnée de deux colonnes: \[ A= \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}=[\boldsymbol{a}_1\,\boldsymbol{a}_2]\,, \] où \[ \boldsymbol{a}_1= \begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}\,, \boldsymbol{a}_2= \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix}\,. \] Ainsi, le déterminant peut être vu comme une fonction sur les paires de vecteurs de \(\mathbb{R}^2\), définie ainsi: \[ \det\Bigl( \begin{pmatrix} a\\ c \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} b\\ d \end{pmatrix} \Bigr) := ad-bc\,. \] Pendant un instant, nous n'utiliserons plus la notation ''\(\det\)'', et considérerons seulement la fonction \[\begin{aligned} \varphi:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2&\to\mathbb{R}\\ (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})&\mapsto \varphi(\boldsymbol{a}\,\boldsymbol{b}):= a_1b_2-a_2b_1\,. \end{aligned}\] Les propriétés suivantes découlent entièrement de sa définition:
Toutes les propriétés sont vérifiées directement par le calcul:
Remarque:
Il se trouve que les propriétés 1 à 5 énoncées dans la proposition
caractérisent entièrement la fonction \(\varphi\)!
En d'autres termes, nous allons
bientôt voir que si une autre fonction \(\psi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\)
satisfait aux cinq propriétés ci-dessus,
alors ceci entraîne que \(\psi(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\varphi(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})
=a_1b_2-a_2b_1\).
Nous utiliserons cette caractéristique pour définir le déterminant
en dimensions supérieures: nous introduirons une fonction sur les familles de
\(n\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), en imposant quelques propriétés semblables à
celles énoncées ci-dessus, et énoncerons un résultat qui garantit
qu'il existe une seule fonction ayant ces propriétés; c'est ce que
nous appellerons le déterminant.
Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:46)
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