Exemple: Les matrices \(A,B\in \mathbb{M}_{2\times 3}(\mathbb{R})\) définies par \[ A= \begin{pmatrix} 1&0&2\\ 0&-3&\frac12 \end{pmatrix} \,,\qquad B= \begin{pmatrix} -2&0&-4\\ 0&6&-1 \end{pmatrix} \] sont colinéaires, puisque \(B=-2A\). Par contre, \[ A'= \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 1&-3&\frac12 \end{pmatrix} \,,\qquad B= \begin{pmatrix} 0&7&2\\ 0&-2&-1 \end{pmatrix} \] ne sont pas colinéaires, parce qu'il n'existe aucun \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \(A=\lambda B\) ou tel que \(B=\lambda A\).

Exemple: Soient \(f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) les fonctions \[ f(t):= \sin(t)\,\qquad g(t):= \cos(t)\,\qquad t\in \mathbb{R}\,. \] Montrons que \(f\) et \(g\) ne sont pas colinéaires. On le démontre par l'absurde: supposons qu'il existe \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \(g=\lambda f\), c'est-à-dire tel que \[ \cos(t)=\lambda \sin(t)\,,\qquad \forall t\in \mathbb{R}\,. \] En écrivant cette relation pour le choix particulier \(t=\tfrac{\pi}{4}\), on obtient \[ \frac{\sqrt{2}}{2}=\lambda\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\,, \] qui implique \(\lambda=1\). Mais, pour le choix \(t=\tfrac{\pi}{2}\), on obtient \[ 0=\lambda\cdot 1\,, \] qui implique \(\lambda=0\). On conclut qu'il ne peut pas exister de scalaire \(\lambda\) qui fonctionne pour tous les \(t\in \mathbb{R}\). On conclut que \(f\) et \(g\) ne sont pas colinéaires.

Exemple: Considérons les matrices \[ A=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix},\,\quad B=\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},\,\quad C=\begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix}\,, \] et montrons que la famille \(\{A,B,C\}\) est libre. Pour ce faire, considérons la relation linéaire \[ \lambda_1A+\lambda_2B+\lambda_3C=0\,, \] qui signifie en fait \[ \lambda_1 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} +\lambda_2 \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} +\lambda_3 \begin{pmatrix} 1&-1\\ 0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\,, \] c'est-à-dire \[ \begin{pmatrix} \lambda_1+\lambda_3&\lambda_2-\lambda_3\\ \lambda_2&-\lambda_1+\lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}\,. \] Deux matrices sont égales si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux, donc cette dernière égalité entre matrices \(2\times 2\) est équivalente à \[ (*) \left\{ \begin{array}{ccccccc} \lambda_1 && &+& \lambda_3 &=&0 \\ && \lambda_2 &-& \lambda_3 &=&0 \\ && \lambda_2 && &=&0 \\ -\lambda_1 && &+& \lambda_3 &=&0 \end{array} \right. \] Ce système ne possédant que la solution triviale, \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\), on en conclut que \(\{A,B,C\}\) est libre ou, en d'autres termes, qu'aucune de ces matrices ne peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.

Exemple: Dans l'espace \(V\) de toutes les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), considérons pour tout \(k=0,1,\dots,p\), le polynôme \(f_k(t):= t^k\), c'est-à-dire que \[ f_0(t):= 1\,,\quad f_1(t):= t\,,\quad f_2(t):= t^2\,,\, \cdots\,, f_p(t):= t^p\,. \]

Exemple: Dans l'espace \(V\) de toutes les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), considérons la famille \(\{f,g,h\}\), où pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \[ f(t):= 7\,,\qquad g(t):= \cos(2t)\,,\qquad h(t):= \cos^2(t)\,. \] Pour savoir \(\{f,g,h\}\) est libre ou liée, on considère la relation linéaire \[ \lambda_1 f+\lambda_2g+\lambda_3h=0\,, \] qui signifie \[ 7\lambda_1+\lambda_2\cos(2t)+\lambda_3\cos^2(t)=0\qquad \forall t\in\mathbb{R}\,. \] Or si on se souvient de la relation trigonométrique \[\cos^2(\alpha)=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\,, \] on peut écrire \[\begin{aligned} h(t) =\cos^2(t) =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2t) =\frac{1}{14} f(t)+\frac{1}{2}g(t)\,. \end{aligned}\] Donc \(h=\frac{1}{14}f+\frac12 g\), ce qui montre que la famille \(\{f,g,h\}\) est liée.