Analyse réelle | S. Friedli

7.1 Motivation

Un des axiomes qui définit le corps des nombres réels est qu'il existe pour tout réel \(a\neq 0\) un inverse, à savoir un nombre noté \(a^{-1}\) tel que \[ aa^{-1}=a^{-1}a=1\,, \] ou le nombre ''\(1\)'' est l'élément neutre pour la multiplication dans les réels (c'est-à-dire que \(x\cdot 1=1\cdot x=x\) pour tout \(x\in \mathbb{R}\)). C'est à l'aide de la notion d'inverse que l'on résout une équation du genre \[ ax=b\,, \] où \(a\neq 0\). En effet, en multipliant des deux côtés de l'équation par \(a^{-1}\), on trouve \[ \underbrace{a^{-1}a}_{=1}x=a^{-1}b\,, \] et donc \(x=a^{-1}b\).

Pour les matrices, on aimerait idéalement pouvoir résoudre un système linéaire \[ A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \] de la même façon. En effet, si on sait qu'il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que \(A^{-1}A=I_n\), alors en multipliant à gauche des deux côtés de l'équation vectorielle ci-dessus, \[ \underbrace{A^{-1}A}_{=I_n}\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\,, \] qui donne \(\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\).

Cette approche peut sembler élégante, mais elle présuppose qu'il existe une matrice \(A^{-1}\) telle que \(A^{-1}A=I_n\). Or une telle matrice n'existe pas toujours, comme nous verrons. En effet, pouvoir isoler \(\boldsymbol{x}\), dans l'équation ''\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\)'', en multipliant juste par une matrice bien choisie, mène à une solution unique \(\boldsymbol{x}=A^{-1}\boldsymbol{b}\), et implique en particulier que la solution du système \(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\) est unique, ce qui n'arrive que dans certains cas (Théorème ''\(0,1,\infty\)'').

Dans ce chapitre, on se propose donc de chercher des conditions sur \(A\) qui garantissent l'existence de \(A^{-1}\); c'est le problème de l'inversibilité. Nous verrons aussi plusieurs façons d'obtenir une expression explicite pour \(A^{-1}\).