Exemple: Si \(W\) est un plan (passant par l'origine) de \(\mathbb{R}^3\), alors \(W^\perp\) est la droite perpendiculaire à \(W\), passant par l'origine:
Remarque: Il sera souvent utile de récrire le produit scalaire en le réinterprétant comme un produit matriciel un peu particulier: \[ \boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y}= x_1y_1+\dots+x_ny_n= \underbrace{[x_1\cdots x_n]}_{1\times n} \underbrace{ \begin{pmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} }_{n\times 1} =\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{y}\,. \]
Les cinq premières propriétés suivent directement de la définition du produit
scalaire. Démontrons l'inégalité de Cauchy-Schwartz.
Pour commencer, remarquons que l'inégalité est triviale dès que \(\boldsymbol{y}\) (ou
\(\boldsymbol{x}\)) est nul. On peut donc supposer que \(\boldsymbol{y}\neq \boldsymbol{0}\).
Ensuite, remarquons que pour tout \(t \in\mathbb{R}\),
\[\begin{aligned}
0\leqslant \|\boldsymbol{x}-t \boldsymbol{y}\|^2
&=(\boldsymbol{x}-t \boldsymbol{y})\cdotp(\boldsymbol{x}-t \boldsymbol{y})\\
&=\boldsymbol{x}\cdotp
\boldsymbol{x}-2t (\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y})+t ^2(\boldsymbol{y}\cdotp\boldsymbol{y})\\
&=\|\boldsymbol{x}\|^2
-2t (\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y})+t ^2\|\boldsymbol{y}\|^2\\
\end{aligned}\]
Comme cette inégalité est vraie pour tout \(t\), on peut l'utiliser pour la
valeur \(t_*\) qui minimise le polynôme du deuxième degré
défini par
\[t \mapsto t ^2\|\boldsymbol{y}\|^2
-2t (\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y}) +\|\boldsymbol{x}\|^2 \,.\]
Ce dernier est minimal lorsque
\[
t_*=\frac{\boldsymbol{x}\cdotp \boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{y}\|^2}\,.
\]
Si on récrit l'inégalité du haut avec \(t_*\), on obtient
\[ 0 \leqslant
\|\boldsymbol{x}\|^2-2
\frac{(\boldsymbol{x}\cdotp \boldsymbol{y})^2}{\|\boldsymbol{y}\|^2}
+\frac{(\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y})^2}{\|\boldsymbol{y}\|^2}
=
\|\boldsymbol{x}\|^2-
\frac{(\boldsymbol{x}\cdotp \boldsymbol{y})^2}{\|\boldsymbol{y}\|^2}\,,
\]
qui entraîne
\[ (\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y})^2\leqslant \|\boldsymbol{x}\|^2\|\boldsymbol{y}\|^2\,.
\]
On obtient l'inégalité de Cauchy-Schwartz en prenant la racine carrée des deux
côtés.
Remarque: \(\mathbb{R}^n\), muni du produit scalaire, est un cas particulier de ce que nous appellerons plus tard un espace Euclidien.
On peut utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwartz pour démontrer l'inégalité triangulaire de la section précédente: \[\begin{aligned} \|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 &=(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\cdotp(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\\ &=\|\boldsymbol{x}\|^2+2(\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y})+\|\boldsymbol{y}\|^2\\ &\leqslant \|\boldsymbol{x}\|^2+2\|\boldsymbol{x}\|\|\boldsymbol{y}\|+\|\boldsymbol{y}\|^2\\ &=(\|\boldsymbol{x}\|+\|\boldsymbol{y}\|)^2\,. \end{aligned}\]
Le produit scalaire est surtout utilisé, en algèbre linéaire, pour résoudre des problèmes dans \(\mathbb{R}^n\) à l'aide d'arguments géométriques empruntés à la géométrie du plan et de l'espace. Et la première notion qui joue un rôle en géométrie est celle d'orthogonalité.
Commençons par écrire l'égalité du dessus sous une forme un peu différente: \[ (\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y})= \frac12 \left( \|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|^2 -\bigl(\|\boldsymbol{x}\|^2 +\|\boldsymbol{y}\|^2\bigr) \right)\,. \] Ceci implique en particulier que \(\boldsymbol{x}\perp \boldsymbol{y}\) si et seulement si \(\boldsymbol{x}\cdotp \boldsymbol{y}=0\). On peut donc donner une définition alternative de l'orthogonalité, basée uniquement sur le produit scalaire:
Exemple: Dans \(\mathbb{R}^5\), les vecteurs \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ -2\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\,,\qquad \boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 5\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\, \] sont orthogonaux, puisque \(\boldsymbol{x}\cdotp\boldsymbol{y}=0\).
En géométrie, on considère souvent un objet géométrique, généralement une droite ou un plan, défini comme étant perpendiculaire à un autre. En algèbre linéaire, on définit un ensemble de vecteurs qui sont tous orthogonaux aux vecteurs d'un autre ensemble:
Commençons par comprendre intuitivement le sens de \(W^\perp\), en petites dimensions:
Exemple: Si \(W\) est un plan (passant par l'origine) de \(\mathbb{R}^3\), alors \(W^\perp\) est la droite perpendiculaire à \(W\), passant par l'origine:
Exemple: Si \(W\) est une droite (passant par l'origine) de \(\mathbb{R}^3\), alors \(W^\perp\) est le plan perpendiculaire à \(W\), passant par l'origine:
Ces deux derniers exemples illustrent bien les propriétés générales ci-dessous:
On vérifie que \(W^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\):
Dans la définition, \(W^\perp\) est défini comme l'ensemble des vecteurs qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de \(W\). Ceci implique que d'un point de vue calculatoire, on devrait a priori vérifier une infinité de conditions pour savoir si un vecteur appartient à \(W^\perp\). Mais lorsqu'on possède une base les choses sont plus simples:
Lemme: Soit \(W\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), et soit \(\mathcal{B}=(\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_k)\) une base de \(W\). Alors \(\boldsymbol{v}\in W^\perp\) si et seulement si \(\boldsymbol{v}\perp \boldsymbol{w}_j\) pour tout \(j=1,\dots,k\).
Supposons que \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{w}_1,\dots,\boldsymbol{w}_k\}\).
Si \(\boldsymbol{v}\) est orthogonal à tous les vecteurs de \(W\), il est en
particulier orthogonal à chacun des éléments de la base.
Inversément, supposons que \(\boldsymbol{v}\) est orthogonal à chacun des éléments de
la base. Comme un élément quelconque \(\boldsymbol{w}\in W\) peut se décomposer dans la
base, \(\boldsymbol{w}=\alpha_1\boldsymbol{w}_1+\cdots+\alpha_k\boldsymbol{w}_k\), la linéarité du
produit scalaire implique que
\[\begin{aligned}
\boldsymbol{v}\cdotp \boldsymbol{w}
&=\boldsymbol{v}\cdotp(\alpha_1\boldsymbol{w}_1+\cdots+\alpha_k\boldsymbol{w}_k)\\
&=
\alpha_1
(\underbrace{\boldsymbol{v}\cdotp\boldsymbol{w}_1}_{=0})
+\cdots+
\alpha_k
(\underbrace{\boldsymbol{v}\cdotp\boldsymbol{w}_k}_{=0})\\
&=0\,,
\end{aligned}\]
et donc \(\boldsymbol{v}\in W^\perp\).
Exemple: Dans \(\mathbb{R}^3\), considérons les vecteurs \[ \boldsymbol{w}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\,, \qquad \boldsymbol{w}_2= \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\,, \] et considérons le plan \[ W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2\}\,. \] Le lemme précédent dit que \[ W^\perp=\{\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3\,:\,\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{w}_1,\,\boldsymbol{v}\perp \boldsymbol{w}_2\} \] Donc on cherche les vecteurs \(\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^3\) tels que les deux conditions suivantes soient satisfaites simultanément: \[ \begin{cases} \boldsymbol{v}\cdotp \boldsymbol{w}_1=0\,,\\ \boldsymbol{v}\cdotp \boldsymbol{w}_2=0\,. \end{cases} \] Si \(\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} \), ceci est équivalent à \[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} v_1 &+& 2v_2 && &=& 0\\ -v_1 &+& 3v_2 &+& v_3 &=&0 \end{array} \right. \] On peut prendre \(v_1\) comme variable libre, et donc on voit que \(W^\perp\) est une droite: \[ W^\perp =\left\{ \boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} x_1\\ -x_1/2\\ 5x_1/2 \end{pmatrix} \,\Big|\, x_1\in\mathbb{R} \right\} =\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 5 \end{pmatrix} \right\}\,. \] On vérifie bien dans ce cas que \[\dim(W)+\dim(W^\perp)=2+1=3\,.\]
Exemple: Dans \(\mathbb{R}^4\), considérons les vecteurs \[ \boldsymbol{w}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}\,, \qquad \boldsymbol{w}_2= \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\\2 \end{pmatrix}\,, \] et considérons le plan \[ W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{w}_1,\boldsymbol{w}_2\}\,. \] Puisque \(\dim(W)=2\) et que \[\dim(W)+\dim(W^\perp)=4\,,\] on sait que \(\dim(W^\perp)=2\), et donc \(W^\perp\) doit aussi être un plan. Et effectivement, un calcul semblable à celui de l'exemple précédent (voir exercices) montre que \[ W^\perp=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2\}\,. \] où \[ \boldsymbol{p}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,, \qquad \boldsymbol{p}_2= \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\\1 \end{pmatrix}\,. \]
Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:46)
Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution: Pas d'Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 (CC BY-NC-SA 4.0)
