Pour définir une notion générale de déterminant, nous allons devoir
considérer une famille de fonctions.
Nous commencerons avec les fonctions définies sur les paires de vecteurs de
\(\mathbb{R}^2\) (qui peuvent être vues comme des matrices \(2\times 2\)), comme dans la
sections précédente:
\[\varphi:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\,.\]
Puis, nous considérerons des fonctions sur des triplets de vecteurs
de \(\mathbb{R}^3\) (qui peuvent être vus comme des matrices \(3\times 3\)),
\[ \varphi:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}\,,\]
puis sur des quadruplets de vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) (qui peuvent être vus comme
des matrices \(4\times 4\)),
\[ \varphi:\mathbb{R}^4\times
\mathbb{R}^4\times\mathbb{R}^4\times\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}\,,\]
etc.
Nous allons imposer que toutes ces fonctions satisfassent
à des propriétés semblables à
celles du cas \(n=2\). Nous utiliserons alors un résultat général qui dit
qu'il n'y a qu'une seule famille de
fonctions vérifiant toutes ces propriétés; pour un \(n\) particulier,
\(\varphi\) sera alors la fonction utilisée pour calculer
le déterminant des matrices \(n\times n\).
Commençons par définir les propriétés, qui généralisent celles du cas \(2\times
2\).
Remarque: On peut montrer, exactement comme on l'a fait dans le cas \(n=2\) (section précédente), que la première propriété d'alternance, conjuguée à celle de multilinéarité, est en fait équivalente à celle d'antisymétrie: si on échange deux vecteurs, on change le signe de la fonction: \[ \varphi(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_n)= -\varphi(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_j,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n)\,. \]
Puisqu'une famille \(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n\in\mathbb{R}^n\) permet de définir une matrice \(n\times n\) \[ A:= [\boldsymbol{a}_1\cdots \boldsymbol{a}_n]\,, \] on peut voir \(\varphi:\mathbb{R}^n\times\cdots\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) comme une fonction \(\varphi:\mathbb{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}\), en posant \[ \varphi(A):= \varphi(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n)\,. \]
Exemple: Si \( A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix} \), alors \[ A_{12}= \begin{pmatrix} 4&6\\ 7&9 \end{pmatrix}\,,\quad A_{31}= \begin{pmatrix} 2&3\\ 5&6 \end{pmatrix}\,,\quad A_{22}= \begin{pmatrix} 1&3\\ 7&9 \end{pmatrix}\,. \]
Théorème:
Pour chaque \(n\geqslant 2\), il existe une unique fonction
\[\begin{aligned}
\widetilde\varphi_n:\mathbb{R}^n\times\cdots\times\mathbb{R}^n&\to\mathbb{R}\\
(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n)&\mapsto \widetilde\varphi_n(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n)
\end{aligned}\]
qui soit en même temps multilinéaire, alternée, et normalisée.
De plus, ces fonctions obéissent au shéma récursif suivant:
(omise)
Le théorème dit en particulier, comme nous
avions annoncé précédemment, que la fonction \(\varphi(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\)
introduite dans le cas \(2\times 2\) est la seule qui possède les trois
propriétés simultanément.
Mais le théorème dit aussi comment calculer explicitement ces fonctions
de manière récursive, en calculant
\(\widetilde\varphi_n\) à l'aide de \(\widetilde\varphi_{n-1}\).
Exemple: Considérons la matrice \(3\times 3\) \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&-3\\ 4&5&6\\ -7&8&9 \end{pmatrix} \] Pour calculer \(\widetilde\varphi_3(A)\), le théorème dit que nous avons pas moins de \(6\) façons équivalentes de procéder. Par exemple, en développant selon la première ligne, \[\begin{aligned} \widetilde\varphi_3&(A) =\sum_{k=1}^3(-1)^{k+1}a_{1k}\widetilde\varphi_2(A_{1k})\\ =& (-1)^{1+1}a_{11}\widetilde\varphi_2(A_{11}) +(-1)^{2+1}a_{12}\widetilde\varphi_2(A_{12}) +(-1)^{3+1}a_{13}\widetilde\varphi_2(A_{13})\\ =& \widetilde\varphi_2(\binom{5}{8},\binom{6}{9}) -2\widetilde\varphi_2(\binom{4}{-7},\binom{6}{9}) -3\widetilde\varphi_2(\binom{4}{-7},\binom{5}{8})\\ =& (5\cdot 9-8\cdot 6)-2(4\cdot 9-(-7)\cdot 6)-3(4\cdot 8-(-7)\cdot 5)\\ =&-360\,. \end{aligned}\] Ou alors, en développant selon la \(3\)-ème colonne, \[\begin{aligned} \widetilde\varphi_3&(A) =\sum_{k=1}^3(-1)^{k+3}a_{k3}\widetilde\varphi_2(A_{k3})\\ =& (-1)^{1+3}a_{13}\widetilde\varphi_2(A_{13}) +(-1)^{2+3}a_{23}\widetilde\varphi_2(A_{23}) +(-1)^{3+3}a_{33}\widetilde\varphi_2(A_{33})\\ =& (-3)\widetilde\varphi_2(\binom{4}{-7},\binom{5}{8}) -6\widetilde\varphi_2(\binom{1}{-7},\binom{2}{8}) +9\widetilde\varphi_2(\binom{1}{4},\binom{2}{5})\\ =&-3 (4\cdot 8-(-7)\cdot 5)-6(1\cdot 8-(-7)\cdot 2)+9(1\cdot 5-4\cdot 2)\\ =&-360\,. \end{aligned}\]
Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:46)
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