(exercice)
On dit aussi qu'un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble de \(V\) qui est stable par addition et par multiplication par des scalaires. Schématiquement:
Remarque:
Exemple: Soit \(V\) l'espace vectoriel des fonctions réelles sur l'intervalle \(I=[a,b]\). Considérons \[ W:= \bigl\{ f\in V\,\big|\, f(a)=f(b) \bigr\}\,. \] Donc les éléments de \(W\) sont les fonctions sur \([a,b]\) dont le graphe a un point initial à même hauteur que le point final:
Exemple: Si \(V\) est l'espace de toutes les fonctions réelles définies sur \(\mathbb{R}\), et si \(\mathbb{P}_n\) est l'ensemble de tous les polynômes de degré au plus égal à \(n\), alors \(\mathbb{P}_n\) est un sous-espace vectoriel de \(V\). (Voir exercices.)
Exemple: Dans \(V=\mathbb{R}^2\), considérons le sous-ensemble \(W\) des vecteurs situés sur la droite dirigée par \(\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \), passant par l'origine:
Par définition, \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}\}\): \(\boldsymbol{w}\in W\) si et seulement si il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(\boldsymbol{w}=\lambda\boldsymbol{v}\).
Exemple: Dans \(V=\mathbb{R}^3\), considérons le plan \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}\) dirigé par les vecteurs \[ \boldsymbol{v}_1= \begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix} \,,\qquad \boldsymbol{v}_2= \begin{pmatrix} -5\\3\\7 \end{pmatrix}\,. \] Par définition, tout vecteur \(\boldsymbol{w}\in W\) est de la forme \[ \boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2\,,\qquad \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}\,. \]
Clairement, \(W\) est formé de tous les vecteurs qui sont combinaisons linéaires de \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\), donc \(\boldsymbol{w}\in W\) si et seulement si il existe des scalaires \(\lambda_1,\lambda_2\) tels que \[\boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2\,.\] En d'autres termes: \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}\).
Les deux derniers exemples sont des cas particuliers d'un procédé très général permettant de construire des sous-espaces vectoriels.
Lemme: \(W=\mathrm{Vect}\{v_1,\dots,v_p\}\) est un sous-espace vectoriel de \(V\).
Fonctionne exactement comme les deux preuves dans les exemples ci-dessus.
Exemple: Si \(V\) est l'espace de toutes les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), et si \(f_0,f_1,f_2\in V\) sont définies par \(f_k(t):= t^k\) pour tout \(t\in\mathbb{R}\), alors \[W=\mathrm{Vect}\{f_0,f_1,f_2\}=\mathbb{P}_2\] est le sous-espace vectoriel de \(V\) contenant toutes les combinaisons linéaires \[ p=\lambda_0 f_0+\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2\,, \] c'est-à-dire tous les polynômes \(p\) de degré plus petit ou égal à \(2\):
Exemple: Si \(V\) est l'espace de toutes les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), et si \(f_1,f_2\in V\) sont définies par \[ f_1(t)=\sin(t)\,,\qquad f_2(t)=\cos(t)\,,\qquad t\in \mathbb{R}\,, \] alors \(W=\mathrm{Vect}\{f_1,f_2\}\) est le sous-espace vectoriel de \(V\) contenant toutes les combinaisons linéaires: