4.4 Sous-espaces vectoriels
Un sous-ensemble non vide \(W \subseteq V\) est un sous-espace vectoriel de \(V\) si
  1. (SEV.1) \(\mathbf{0}_{V}\in W\);
  2. (SEV.2) si \(w, w'\in W\) et \(\lambda\in \mathbb{R}\), alors \(w+\lambda w'\in W\).

On dit aussi qu'un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble de \(V\) qui est stable par addition et par multiplication par des scalaires. Schématiquement:

Remarque: \(V\), vu comme sous-ensemble de lui-même, peut être considéré comme un sous-espace vectoriel.

Soit \(W\) un sous-espace vectoriel de \(V\). Alors, \(W\) est un espace vectoriel avec la somme et le produit par scalaires de \(V\).

On voit d'abord que la somme de \(V\) appliquée à deux éléments \(w\) et \(w'\) de \(W\) est dans \(W\), car (SEV.2) nous dit que \(w + w' = w + 1.w' \in W\). De la même façon, le produit par scalaires de \(V\) appliqué à \(\lambda \in \mathbb{R}\) et \(w \in W\) est dans \(W\), vu que (SEV.2) nous dit que \(w = \mathbf{0}_{V} + 1.w \in W\). En outre, les axiomes (EV.1), (EV.2) et (EV.5)- (EV.8) sont vérifiés pour les éléments de \(V\), donc a fortiori pour les éléments de \(W\). La condition (SEV.1) et l'axiome (EV.3) pour \(V\) implique aussi que \(\mathbf{0}_{V}\) est le vecteur nul de \(W\), i.e. l'axiome (EV.3) pour \(W\) est vérifié. Finalement, étant donné \(w\in W\), alors \( \mathbf{0}_{V} + (-1)w=-w\in W\). L'axiome (EV.4) pour \(V\) implique alors le même axiome (EV.4) pour \(W\).

Exemple: Soit \(V\) l'espace vectoriel des fonctions réelles sur l'intervalle \(I=[a,b]\). Considérons \[ W:= \bigl\{ f\in V\,\big|\, f(a)=f(b) \bigr\}\,. \] Donc les éléments de \(W\) sont les fonctions sur \([a,b]\) dont le graphe a un point initial à même hauteur que le point final:

Montrons que \(W\) est un sous-espace vectoriel de \(V\).
  1. D'abord, la fonction nulle \(\mathbf{0}\) est évidemment dans \(W\), puisque \(\mathbf{0}(a)=\mathbf{0}(b)=0\).
  2. Ensuite, si \(f\in W\) et \(\lambda\in \mathbb{R}\), alors \[(\lambda f)(a)=\lambda f(a)=\lambda f(b)=(\lambda f)(b)\,,\] et donc \(\lambda f\in W\).
  3. Finalement, si \(f,g\in W\), alors \[ (f+g)(a)=f(a)+g(a)=f(b)+g(b)=(f+g)(b)\,, \] et donc \(f+g\in W\).
Sur le même espace vectoriel \(V\) (des fonctions réelles définies sur \([a,b]\)), les sous-ensembles suivants sont aussi des sous-espaces vectoriels:

Exemple: Si \(V\) est l'espace de toutes les fonctions réelles définies sur \(\mathbb{R}\), et si \(\mathbb{P}_n\) est l'ensemble de tous les polynômes de degré au plus égal à \(n\), alors \(\mathbb{P}_n\) est un sous-espace vectoriel de \(V\). (Voir exercices.)

Exemple: Dans \(V=\mathbb{R}^2\), considérons le sous-ensemble \(W\) des vecteurs situés sur la droite dirigée par \(\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \), passant par l'origine:

Intuitivement, il est clair que cet ensemble \(W\) est ''stable'': si on multiplie un vecteur de \(W\) par un scalaire, on obtient un vecteur qui est aussi dans \(W\), et si on additionne deux vecteurs de \(W\), alors on obtient un vecteur qui est aussi dans \(W\): ''on ne sort pas de \(W\)'' en additionnant ou en multipliant par des scalaires.

Plus rigoureusement, montrons que \(W\) est un sous-espace vectoriel de \(V=\mathbb{R}^2\).

Par définition, \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}\}\): \(\boldsymbol{w}\in W\) si et seulement s'il existe un scalaire \(\lambda\) tel que \(\boldsymbol{w}=\lambda\boldsymbol{v}\).

  • (SEV.1) Le vecteur nul \(\boldsymbol{0}\) est évidemment dans \(W\) puisque \(\boldsymbol{0}=0\boldsymbol{v}\).
  • (SEV.2) Si \(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}'\in W\), alors il existe \(\lambda,\lambda'\in \mathbb{R}\) tels que \(\boldsymbol{w}=\lambda\boldsymbol{v}\) et \(\boldsymbol{w}'=\lambda'\boldsymbol{v}\), et soit \(\mu\in \mathbb{R}\). Alors clairement \(\boldsymbol{w}+\mu\boldsymbol{w}'\in W\) puisque \[ \boldsymbol{w}+\mu\boldsymbol{w}'=\lambda\boldsymbol{v}+\mu\lambda'\boldsymbol{v} =(\lambda+ \mu\lambda')\boldsymbol{v}\,, \] ce qui entraîne \(\boldsymbol{w}+ \mu\boldsymbol{w}'\in W\).

Exemple: Dans \(V=\mathbb{R}^3\), considérons le plan \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}\) dirigé par les vecteurs \[ \boldsymbol{v}_1= \begin{pmatrix} 2\\0\\-1 \end{pmatrix} \,,\qquad \boldsymbol{v}_2= \begin{pmatrix} -5\\3\\7 \end{pmatrix}\,. \] Par définition, tout vecteur \(\boldsymbol{w}\in W\) est de la forme \[ \boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2\,,\qquad \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R}\,. \]

On affirme que \(W\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\).

Clairement, \(W\) est formé de tous les vecteurs qui sont combinaisons linéaires de \(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\), donc \(\boldsymbol{w}\in W\) si et seulement s'il existe des scalaires \(\lambda_1,\lambda_2\) tels que \[\boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2\,.\] En d'autres termes: \(W=\mathrm{Vect}\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}\).

  • (SEV.1) Clairement, \(\boldsymbol{0}\in W\) (prendre \(\lambda_1=\lambda_2=0\)).
  • (SEV.2) Si \(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}'\in W\), de la forme \(\boldsymbol{w}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2\), \(\boldsymbol{w}'=\lambda_1'\boldsymbol{v}_1+\lambda_2'\boldsymbol{v}_2\), et \(\mu\in \mathbb{R}\), alors \[\begin{aligned} \boldsymbol{w}+\mu\boldsymbol{w}' &= (\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2)+ \mu (\lambda_1'\boldsymbol{v}_1+\lambda_2'\boldsymbol{v}_2)\\ &= (\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2)+ (\mu \lambda_1'\boldsymbol{v}_1+ \mu \lambda_2'\boldsymbol{v}_2) \\ &= (\lambda_1+\mu\lambda_1')\boldsymbol{v}_1+(\lambda_2+\mu\lambda_2')\boldsymbol{v}_2\,, \end{aligned}\] et donc \(\boldsymbol{w}+\mu\boldsymbol{w}'\in W\).

Les deux derniers exemples sont des cas particuliers d'un procédé très général permettant de construire des sous-espaces vectoriels.

Soit \(V\) un espace vectoriel, et soient \(v_1,\dots,v_p\) des vecteurs de \(V\). On définit la partie engendrée (ou l'ensemble engendré) par \(v_1,\dots,v_p\), noté \(\mathrm{Vect}\{v_1,\dots,v_p\}\), comme l'ensemble formé de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs \(v_1,\dots,v_p\). On dit que \(\{v_1,\dots,v_p\} \subseteq V\) est une famille génératrice de \(V\) (ou que \(\{v_1,\dots,v_p\} \subseteq V\) engendre \(V\)) si \(\mathrm{Vect}\{v_1,\dots,v_p\} = V\).

Lemme: Pour toute famille \(\{v_1,\dots,v_p\} \subseteq V\) d'un espace vectoriel \(V\), la partie engendrée \(W=\mathrm{Vect}\{v_1,\dots,v_p\}\) est un sous-espace vectoriel de \(V\).

Fonctionne exactement comme les deux preuves dans les exemples ci-dessus.

  • (SEV.1) La combinaison linéaire dont tous les coefficients sont nuls, donne l'élément nul: \[ \mathbf{0}_V=0v_1+\cdots+0v_p\in W\,. \]
  • (SEV.2) Étant donné \(w\in W\) et \(w'\in W\), on a que \[\begin{aligned} w&=\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p\,,\\ w'&=\lambda_1'v_1+\cdots+\lambda_p'v_p\,. \end{aligned}\] Alors, pour \(\lambda\in \mathbb{R}\), \[\begin{aligned} w+ \lambda w'&= (\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p) + \lambda (\lambda_1'v_1+\cdots+\lambda_p'v_p)\\ &= (\lambda_1+\lambda\lambda_1')v_1+\cdots+ (\lambda_p+\lambda\lambda_p')v_p\in W\,. \end{aligned}\]

En raison du résultat précédent, la partie engendrée par une famille \(\{v_1, \dots, v_p\}\) est aussi appelée le sous-espace vectoriel engendré par \(\{v_1, \dots, v_p\}\).

Exemple: Si \(V\) est l'espace de toutes les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), et si \(f_0,f_1,f_2\in V\) sont définies par \(f_k(t):= t^k\) pour tout \(t\in\mathbb{R}\), alors \[W=\mathrm{Vect}\{f_0,f_1,f_2\}=\mathbb{P}_2\] est le sous-espace vectoriel de \(V\) contenant toutes les combinaisons linéaires \[ p=\lambda_0 f_0+\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2\,, \] c'est-à-dire tous les polynômes \(p\) de degré plus petit ou égal à \(2\):

Exemple: Si \(V\) est l'espace de toutes les fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), et si \(f_1,f_2\in V\) sont définies par \[ f_1(t)=\sin(t)\,,\qquad f_2(t)=\cos(t)\,,\qquad t\in \mathbb{R}\,, \] alors \(W=\mathrm{Vect}\{f_1,f_2\}\) est le sous-espace vectoriel de \(V\) contenant toutes les combinaisons linéaires:

Quiz 4.4-1 : Soit \(V\) l'espace de toutes les fonctions réelles sur \(\mathbb{R}\), et soit \(W\) le sous-espace vectoriel de \(V\) engendré par \(f_1(t)=\sin(t)\) et \(f_2(t)=\cos(t)\). Vrai ou faux?
  1. Toute fonction \(f\in W\) est périodique.
  2. Toute fonction \(f\in W\) est bornée.
  3. Il existe \(f\in W\) telle que \(\lim_{t\to\infty}f(t)\) existe.
  4. Il existe \(f\in W\) telle que \(f(\sqrt{2})=\pi\).
  5. Il existe \(f\in W\) telle que \(f(\frac{\pi}{4})=0\).
  6. Si \(f\in W\), alors \(f'\in W\) (\(f'\): dérivée de \(f\)).
Quiz 4.4-2 : Soit \(V\) l'espace de toutes les fonctions réelles sur \(\mathbb{R}\), et soit \(\mathbb{P}_2\) le sous-espace de \(V\) des polynômes de degré au plus égal à deux. Vrai ou faux?
  1. Tout \(p\in \mathbb{P}_2\) est de degré \(2\).
  2. Si \(p\in \mathbb{P}_2\), alors \(t\mapsto p(t)\) est une fonction paire.
  3. Il existe une infinité de polynômes \(p\in \mathbb{P}_2\) qui sont bornés.
  4. Il existe \(p\in \mathbb{P}_2\) tel que \(p(-1)=p(1)=1\), \(p(2)=0\).
  5. Il existe \(p\in \mathbb{P}_2\) tel que \(p(1)=p(2)=p(3)=0\).

Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:29)

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