Analyse réelle | S. Friedli

2.2 Colinéarité

La colinéarité est une généralisation du parallélisme.

Deux vecteurs \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n\) sont colinéaires si il existe un scalaire \(\lambda\in \mathbb{R}\) tel que \(\boldsymbol{y}=\lambda\boldsymbol{x}\) ou \(\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{y}\).

Deux vecteurs sont colinéaires si ils sont supportés par la même droite,

et non-colinéaires (on dira bientôt indépendants) si ils pointent dans des directions différentes:

Exemple: Parmi les trois vecteurs de \(\mathbb{R}^4\) suivants, \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\,,\qquad \boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} -3\\ 1/2\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\,,\qquad \boldsymbol{z}= \begin{pmatrix} 6\\ -1\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}\,, \] seuls \(\boldsymbol{y}\) et \(\boldsymbol{z}\) sont colinéaires, puisque \(\boldsymbol{z}=-2\boldsymbol{y}\).

Remarque: Le vecteur nul, \(\boldsymbol{0}\), est colinéaire à n'importe quel autre vecteur. En effet, quel que soit \(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n\), on peut toujours écrire \(\boldsymbol{0}=\lambda \boldsymbol{y}\), où \(\lambda=0\).