On a pu apprécier, dans les dernières sections, à quel point l'introduction de
la notion abstraite
de vecteur s'est avérée utile, non seulement dans la
description des systèmes linéaires, mais aussi dans l'avantage qu'ils
représentent d'un point de vue calculatoire: on peut
les manipuler un peu comme de simples nombres
,
sans se soucier du fait qu'ils représentent, a priori,
des objets de grandes dimensions.
Les vecteurs nous ont également permis de développer le début de la théorie des
applications linéaires \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), qui nous occuperont pour la plupart
de ce que nous allons faire jusqu'à la fin de ce cours.
Mais avant de poursuivre cette étude, nous allons généraliser tout ce
que nous avons fait jusqu'ici, pour l'utiliser dans d'autres situations.
En effet, il est profitable, dans beaucoup de situations qui vont bien
au-delà de ce que nous avons vu jusqu'à maintenant,
d'avoir une structure vectorielle abstraite qui permette de manipuler des
objets à l'aide d'une addition vectorielle et d'une
multiplication par un scalaire, telle que les propriétés classiques de
l'arithmétique (commutativité, distributivité, etc) soient satisfaites.
Cette structure, qui généralise la notion de vecteur dans
\(\mathbb{R}^n\), est ce qu'on appelle un espace vectoriel, et constitue le sujet
de ce chapitre.
Les espaces vectoriels offrent un cadre de travail sur lequel nous redéfinirons
naturellement
tout ce que nous avons fait dans le cas de \(\mathbb{R}^n\). Nous introduirons
également de nouvelles notions, qui seront après utilisées dans le cas
particulier des espaces \(\mathbb{R}^n\).
Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:45)
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