2.1 Définitions

Dans ce chapitre, nous laissons les systèmes de côté un instant, pour introduire le langage de base nécessaire au développement de l'algèbre linéaire dans les espaces \(\mathbb{R}^n\), \(n\geqslant 1\). Pour commencer, nous introduirons la notion de vecteur, centrale en algèbre linéaire, et particulièrement utile pour décrire les systèmes.

Vecteurs

On l'a déjà mentionné plus haut: toute liste de nombres réels \((x_1,x_2,\dots, x_n)\) peut être identifiée avec un point de l'espace \(\mathbb{R}^n\). Or les points de \(\mathbb{R}^n\) sont plus facilement manipulables lorsqu'on les interprète comme des objets appelés vecteurs.

On identifiera donc \((x_1,\dots,x_n)\) avec le vecteur (dit aussi vecteur-colonne), noté \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\,. \]

En analyse, \(\mathbb{R}^n\) est considéré comme un ensemble de points. En algèbre linéaire, \(\mathbb{R}^n\) est considéré comme un ensemble de vecteurs.

Il est clair que la liste \((x_1,\dots,x_n)\) et le vecteur \(\boldsymbol{x}\) contiennent la même information, mais ici il faut interpréter \(\boldsymbol{x}\) comme le déplacement depuis l'origine jusqu'au point \((x_1,x_2,\dots, x_n)\). Par exemple, dans le plan \(\mathbb{R}^2\),

ou dans l'espace \(\mathbb{R}^3\):

L'avantage d'identifier des points avec des vecteurs est que le langage vectoriel permet d'introduire des opérations qui rendent les vecteurs propices au calcul.

Addition et multiplication par des scalaires

On munit l'ensemble des vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) de deux opérations:

  1. (Multiplication par un scalaire) La multiplication d'un vecteur \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\,, \] par un scalaire \(\lambda\in \mathbb{R}\) est le vecteur \(\lambda \boldsymbol{x}\) défini par \[ \lambda\boldsymbol{x}:= \begin{pmatrix} \lambda x_1\\ \lambda x_2\\ \vdots\\ \lambda x_n \end{pmatrix}\,. \] Du point de vue géométrique, la multiplication par un scalaire \(\lambda>0\) correspond à étirer (si \(\lambda\geqslant 1\)) ou comprimer (si \(0\lt \lambda\lt 1\)):
    Lorsque \(\lambda<0\), cette transformation est en plus accompagnée d'un changement de sens:
  2. (Addition vectorielle) Si deux vecteurs \[ \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\qquad \text{ et }\qquad \boldsymbol{y}= \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix} \] sont donnés, leur somme est définie par \[ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}:= \begin{pmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{pmatrix}\,. \]

Remarque: En petites dimensions, \(n=2\) et \(n=3\), l'addition vectorielle peut s'interpréter géométriquement comme la règle du parallélogramme:

On comprend ici que c'est l'interprétation d'un vecteur comme à un déplacement qui rend cette opération d'addition naturelle.

Le vecteur nul est celui dont toutes les composantes sont égales à zéro. On le notera \[ \boldsymbol{0}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\,. \] Par définition, on a \(0\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\) , et \[ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{x}\,. \] Pour tout vecteur \(\boldsymbol{x}\), on appelle opposé de \(\boldsymbol{x}\) le vecteur \(-\boldsymbol{x}:= (-1)\boldsymbol{x}\). Par définition, \[\boldsymbol{x}+(-\boldsymbol{x})=(-\boldsymbol{x})+\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\,.\] Les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire permettent de manipuler les vecteurs à l'aide de calculs. Ces calculs obéissent aux règles standard de l'arithmétique:

Pour tous vecteurs \(\boldsymbol{x}\), \(\boldsymbol{y}\), \(\boldsymbol{z}\) de \(\mathbb{R}^n\), et pour tous scalaires \(\lambda,\mu\in \mathbb{R}\),
  1. \(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\) (commutativité)
  2. \(\boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})= (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z}\) (associativité)
  3. \(\lambda(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=\lambda\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y}\) (distributivité)
  4. \((\lambda+\mu)\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}+\mu\boldsymbol{x}\) (distributivité)
  5. \((\lambda\mu)\boldsymbol{x}=\lambda(\mu\boldsymbol{x})=\mu(\lambda \boldsymbol{x})\)

Ces propriétés ne font que refléter une propriété élémentaire semblable, valide dans le corps des nombres réels. Ci-dessous, on indiquera par le symbole \(\stackrel{{\color{red}!}}{=}\) une identité obtenue en utilisant une propriété de base dans les réels, pour chacune des composantes:

  1. \[ \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} = \begin{pmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{pmatrix} \stackrel{{\color{red}!}}{=} \begin{pmatrix} y_1+x_1\\ y_2+x_2\\ \vdots\\ y_n+x_n \end{pmatrix} = \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \]
  2. \[\begin{aligned} \boldsymbol{x}+(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z})&= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1+z_1\\ y_2+z_2\\ \vdots\\ y_n+z_n \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} x_1+(y_1+z_1)\\ x_2+(y_2+z_2)\\ \vdots\\ x_n+(y_n+z_n) \end{pmatrix}\\ &\stackrel{{\color{red}!}}{=} \begin{pmatrix} (x_1+y_1)+z_1\\ (x_2+y_2)+z_2\\ \vdots\\ (x_n+y_n)+z_n \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z_1\\ z_2\\ \vdots\\ z_n \end{pmatrix}\\ &= (\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})+\boldsymbol{z} \end{aligned}\]
  3. \[\begin{aligned} \lambda(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})&= \lambda \begin{pmatrix} x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \lambda(x_1+y_1)\\ \lambda(x_2+y_2)\\ \vdots\\ \lambda(x_n+y_n) \end{pmatrix}\\ &\stackrel{{\color{red}!}}{=} \begin{pmatrix} \lambda x_1+\lambda y_1\\ \lambda x_2+\lambda y_2\\ \vdots\\ \lambda x_n+\lambda y_n \end{pmatrix}\\ &=\lambda \boldsymbol{x}+\lambda \boldsymbol{y} \end{aligned}\]
  4. \[\begin{aligned} (\lambda+\mu)\boldsymbol{x}&= \begin{pmatrix} (\lambda+\mu)x_1\\ (\lambda+\mu)x_2\\ \vdots\\ (\lambda+\mu)x_n \end{pmatrix}\\ &\stackrel{{\color{red}!}}{=} \begin{pmatrix} \lambda x_1+\mu x_1\\ \lambda x_2+\mu x_2\\ \vdots\\ \lambda x_n+\mu x_n \end{pmatrix}=\lambda \boldsymbol{x}+\mu\boldsymbol{x} \end{aligned}\]
  5. \[\begin{aligned} (\lambda\mu)\boldsymbol{x} &= \begin{pmatrix} (\lambda\mu)x_1\\ (\lambda\mu)x_2\\ \vdots\\ (\lambda\mu)x_n \end{pmatrix}\\ &\stackrel{{\color{red}!}}{=} \begin{pmatrix} \lambda(\mu x_1)\\ \lambda(\mu x_2)\\ \vdots\\ \lambda(\mu x_n) \end{pmatrix}=\lambda(\mu\boldsymbol{x})\\ &\stackrel{{\color{red}!}}{=} \begin{pmatrix} \mu(\lambda x_1)\\ \mu(\lambda x_2)\\ \vdots\\ \mu(\lambda x_n) \end{pmatrix}=\mu(\lambda\boldsymbol{x}) \end{aligned}\]

Avec ces propriétés, on peut résoudre des équations vectorielles, dont l'inconnue est un vecteur \(\boldsymbol{x}\), de la même façon qu'on résout des équations élémentaires où l'inconnue est un réel \(x\).

Exemple: Considérons deux vecteurs \(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R}^n\) fixés, et étudions l'équation vectorielle \[ 2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{x}=5\boldsymbol{x}+7\boldsymbol{b}\,. \] Utilisons les propriétés démontrées ci-dessus pour isoler \(\boldsymbol{x}\), comme on le fait quand on résout une équation en arithmétique élémentaire.

Rajoutons \(+3\boldsymbol{x}\) des deux côtés. Du côté gauche, détaillons l'utilisation des propriétés: \[ 2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{x}+3\boldsymbol{x}=2\boldsymbol{a}+(-3+3)\boldsymbol{x}=2\boldsymbol{a}+0\boldsymbol{x}=2\boldsymbol{a} +\boldsymbol{0}=2\boldsymbol{a}\,. \] En procédant de même du côté droit, on obtient \[ 2\boldsymbol{a}=8\boldsymbol{x}+7\boldsymbol{b}\,. \] En soustrayant \(7\boldsymbol{b}\) des deux côtés, \[ 8\boldsymbol{x}=2\boldsymbol{a}-7\boldsymbol{b}\,, \] puis en multipliant par \(\frac18\), \[ \boldsymbol{x}=\tfrac14\boldsymbol{a}-\tfrac78\boldsymbol{b}\,. \]

Dernière compilation: 2023-08-30 (14:16:45)

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