Remarque: Insistons sur le fait que les coefficients \(a_{i,j}\), ainsi que le second membre, sont des nombres fixés qui ne dépendent pas des \(x_i\); en général ils sont donnés par une situation pratique.
On peut voir un système \((*)\) comme une famille de \(m\) contraintes que les variables \(x_1,\dots,x_n\) doivent satisfaire, où la \(k\)-ème contrainte est \[ \begin{array}{ccccccccc} a_{k,1}x_1&+&a_{k,2}x_2&+&\cdots&+&a_{k,n}x_n&=&b_k\,. \end{array} \] On appelle cette contrainte une équation linéaire. On écrira parfois \(a_{ij}\) au lieu de \(a_{i,j}\) s'il n'y a pas de risque de confusion.
Considérons un système de taille \(m\times n\) donné, comme \((*)\).
Lorsqu'un système est compatible, le résoudre signifiera trouver toutes ses solutions. Dans ce cas, on devra aussi savoir décrire précisément \(S_{(*)}\). Voyons deux exemples simples.
Exemple: Le système de taille \(2\times 2\) \[ (*) \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& x_2 &=&1\,, \\ x_1 &+& x_2 &=&0 \\ \end{array} \right. \] est incompatible. En effet, quelle que soit la valeur de \(x_1\) et \(x_2\), la somme \(x_1+x_2\) ne peut pas être à la fois égale à \(1\) et à \(0\). Donc \(S_{(*)}=\varnothing\).
Exemple: Considérons le système taille \(1\times 2\) suivant: \[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& x_2 &=&1\,. \\ \end{array} \right. \] On trouve facilement des solutions: \((1,0)\), \((2,-1)\), \((3,-2)\), etc. Donc ce système est compatible, et semble même posséder une infinité de solutions. Pour décrire son ensemble de solutions précisément (pour n'en oublier aucune!), il suffit de remarquer que l'on peut toujours choisir une des variables, et prendre l'autre en fonction de façon à ce que la relation soit satisfaite. Par exemple, en choisissant \(x_1\), on garantit que la contrainte est satisfaite en prenant \[x_2=1-x_1\,.\] Lorsqu'on peut ainsi choisir une variable, appelée variable libre, on a avantage à y penser comme à un paramètre, et à utiliser une autre lettre pour la décrire. Si on utilise la lettre \(t\) pour ce paramètre, on a \[\begin{aligned} x_1&=t\,,\\ x_2&=1-t\,. \end{aligned}\] Les variables \(x_1\) et \(x_2\) étant exprimées en fonction des variables libres, on les appelle variables liées (ou variables de base). On peut finalement exprimer l'ensemble des solutions comme suit: \[ S=\big\{(t,1-t)\,:\,t\in \mathbb{R}\big\}\,. \]
Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:29)
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