Exemple: Le système \(2\times 2\) \[ (*) \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& x_2 &=&1\\ x_1 &+& x_2 &=&0\\ \end{array} \right. \] est incompatible. En effet, quelle que soit la valeur de \(x_1\) et \(x_2\), la somme \(x_1+x_2\) ne peut pas être à la fois égale à \(1\) et à \(0\). Donc \(S_{(*)}=\varnothing\).

Exemple: Considérons le système \(1\times 2\) suivant: \[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& x_2 &=&1\\ \end{array} \right. \] On trouve facilement des solutions: \((1,0)\), \((2,-1)\), \((3,-2)\), etc. Donc ce système est compatible, et semble même posséder une infinité de solutions. Pour décrire son ensemble de solutions précisément (pour n'en oublier aucune!), il suffit de remarquer que l'on peut toujours choisir une des variables, et prendre l'autre en fonction de façon à ce que la relation soit satisfaite. Par exemple, en choisissant \(x_1\), on garantit que la contrainte est satisfaite en prenant \[x_2=1-x_1\,.\] Lorsqu'on peut ainsi choisir une variable, appelée variable libre, on a avantage à y penser comme à un paramètre, et à utiliser une autre lettre pour la décrire. Si on utilise la lettre \(t\) pour ce paramètre, on a \[\begin{aligned} x_1&=t\,,\\ x_2&=1-t\,. \end{aligned}\] Les variables \(x_1\) et \(x_2\) étant exprimées en fonction des variables libres, on les appelle variables liées (ou variables de base). On peut finalement exprimer l'ensemble des solutions comme suit: \[ S=\{(t,1-t)\,:\,t\in \mathbb{R}\}\,. \]