Analyse réelle | S. Friedli

Les notions introduites jusqu'ici permettent de dire des choses très globales sur une application linéaire \[ T:V\to V' \] Si \(V\) et \(V'\) sont de dimensions finies, une telle application peut être représentée par une matrice, et nous savons l'utiliser pour étudier l'injectivité, la surjectivité; nous avons plusieurs critères permettant de déterminer quand l'application est bijective (via l'inversibilité de sa matrice et le déterminant).

Mais ce que nous n'avons pas encore c'est un outil, un peu comme la dérivée en analyse, qui nous permette de dire des choses plus fines sur cette application.

Nous nous concentrerons sur les applications linéaires \[ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\,. \] Pour motiver les nouvelles notions que nous allons introduire, voyons un exemple simple dans le plan:

Exemple: Considérons l'application \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) définie par \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\boldsymbol{x} \mapsto T(\boldsymbol{x}):= \begin{pmatrix} x_2\\ \frac12 x_1-\frac12 x_2 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} 0&1\\ \frac12&-\frac12 \end{pmatrix}}_{=A} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} \] Les colonnes de \(A\) étant indépendantes, cette application est bijective.

Mais ne peut-on rien dire de plus? Par exemple, peut-on dire plus précisément comment \(A\boldsymbol{x}\) est relié géométriquement à \(\boldsymbol{x}\)?

Pour essayer de mieux comprendre cette application, faisons varier \(\boldsymbol{x}\) sur l'animation ci-dessous, et observons comment l'image \(A\boldsymbol{x}\) se comporte:

On se rend compte que certaines directions semblent jouer un rôle particulier. Sous l'action de \(T\), c'est-à-dire lorsqu'on multiplie par \(A\),

tout vecteur \(\boldsymbol{x}\) sur la droite dirigée par \(\boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} \) subit uniquement une modification de longueur, par un facteur \(\frac12\), \[A\boldsymbol{x}=\tfrac12\boldsymbol{x}\,.\]
tout vecteur \(\boldsymbol{x}\) sur la droite dirigée par \(\boldsymbol{v}_2 =\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix} \) subit uniquement une modification de sens: \[A\boldsymbol{x}=-\boldsymbol{x}\,.\]

En d'autres termes, les deux directions spécifiées par \(\boldsymbol{v}_1\) et \(\boldsymbol{v}_2\) sont particulières puisqu'elles définissent des vecteurs dont la direction ne change pas sous l'action de \(T\). Leur longueur et leur sens, par contre, peuvent être altérés.

Ces vecteurs particuliers \(\boldsymbol{v}_1\) et \(\boldsymbol{v}_2\), que nous appellerons vecteurs propres, fournissent un point de départ pour comprendre la géométrie de l'application \(T\). Au chapitre suivant, sur la diagonalisation, nous utiliserons ces vecteurs propres pour construire une nouvelle base dans laquelle nous exprimerons \(T\).

10.1 Motivation