6.4 Propriétés du déterminant
Le calcul du déterminant à partir des propriétés

Les propriétés énoncées dans le premier Théorème %(cliquer) de la Section (cliquer) se traduisent en nos premières moyens de calcul du déterminant.

Règles de calcul récursif du déterminant

Par ces relations de récurrence, le déterminant d'une matrice de taille \(n\times n\) peut toujours se calculer en passant par le calcul de \(n\) déterminants de sous-matrices de taille \((n-1)\times(n-1)\). Mais à leur tour, le déterminant de chacune de ces matrices de taille \((n-1)\times(n-1)\) passe par le calcul de \(n-1\) matrices de taille \((n-2)\times(n-2)\), etc. Ainsi, si \(N_n\) représente le nombre d'opérations nécessaires pour calculer le déterminant d'une matrice de taille \(n\times n\), on a \[\begin{aligned} N_n &=nN_{n-1}\\ &=n(n-1)N_{n-2}\\ &=n(n-1)(n-2)N_{n-3}\\ &\vdots\\ &=n(n-1)(n-3)\cdots 4\cdot 3\cdot N_2=\frac{n!}{2}N_2\,. \end{aligned}\] Ainsi, le nombre d'opérations augmente factoriellement avec \(n\), ce qui rend un calcul de déterminant, a priori, très coûteux pour des grandes matrices.

Exemple: Prenons une matrice de taille \(10\times 10\), par exemple \[ A= \begin{pmatrix} 8&8&1&0&6&1&9&7&5&5\\ 1&3&3&9&7&4&7&1&5&5\\ 8&5&6&7&8&3&0&8&9&7\\ 5&5&4&7&3&8&3&4&5&8\\ 9&6&8&5&5&3&6&4&3&6\\ 1&8&9&5&3&7&4&3&5&3\\ 5&4&1&3&9&6&8&9&3&2\\ 5&2&1&9&9&5&6&0&4&5\\ 7&3&6&8&6&0&6&7&3&6\\ 3&8&2&2&6&6&3&5&9&6\\ \end{pmatrix}\,. \] Par ce que nous avons dit plus haut, le calcul de \(\det(A)\) requiert environ \(10!\) (factorielle) opérations, ce qui est de l'ordre de \(3'628'800\). Avec une matrice de taille \(100\times 100\), le nombre d'opérations est de l'ordre de \(10^{158}\); il faudrait à n'importe quel ordinateur, même très puissant, un temps bien supérieur à l'âge de l'univers pour effectuer ce calcul (source: Rappaz-Picasso.)

Remarque: La matrice ci-dessus a été générée aléatoirement .

Donc en général, ce n'est pas très efficace de calculer un déterminant en utilisant les relations de récursion. En revanche, ce qu'on peut faire est d'utiliser les relations de récurrence, ainsi que les propriétés de base des fonctions \(\det_n\), pour dériver d'autres propriétés générales du déterminant. Celles-ci fourniront des méthodes permettant d'économiser autant que possible sur le nombre d'opérations à effectuer pour calculer un déterminant, en simplifiant la matrice.

Propriétés du déterminant

D'abord, un résultat préliminaire:

Lemme: Pour toute matrice carrée \(A\) on a \(\det(A^T)=\det(A)\).

Par récurrence sur \(n\). Lorsque \(n=2\), on a simplement \[\begin{aligned} \det(A) =\det \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} =ad-bc =ad-cb =\det \begin{pmatrix} a&c\\ b&d \end{pmatrix} =\det(A^T)\,. \end{aligned}\] Supposons maintenant que la formule soit correcte pour toute matrice de taille \(n\times n\), et considérons une matrice de taille \((n+1)\times(n+1)\), notée \(A\). En développant selon la première colonne, puisque le coefficient d'indice \((j,1)\) de \(A^T\) est le coefficient d'indice \((1,j)\) de \(A\), à savoir \(A_{1,j}\), on a que \[ \det(A^T) =\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j+1} A_{1,j}\det\big(A^T[j|1]\big)\,. \] Or, par la définition de la transposition, \( A^T[j|1]=(A[1|j])^T\). De plus, par l'hypothèse d'induction, \(A[1|j]\) étant une matrice de taille \((n-1)\times (n-1)\), \[ \det\Big(\big(A[1|j]\big)^T\Big)=\det(A[1|j])\,, \] ce qui donne \[ \det(A^T) =\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j+1} A_{1,j}\det\big(A[1|j]\big)=\det(A)\,. \] En effet, cette dernière somme est le déterminant de \(A\), développé selon la première ligne.

Ensuite, les propriétés qui permettront de simplifier le calcul du déterminant:

[Propriétés du déterminant]
  1. Si \(A\) possède deux colonnes (ou deux lignes) égales, alors \(\det(A)=0\).
  2. Le signe du déterminant change lorsqu'on échange deux colonnes: \[\begin{aligned} \det(\boldsymbol{a}_1,\dots,{\color{magenta}\boldsymbol{a}_i},\dots, {\color{blue}\boldsymbol{a}_j},&\dots,\boldsymbol{a}_n)\\ =& -\det(\boldsymbol{a}_1,\dots,{\color{blue}\boldsymbol{a}_j},\dots, {\color{magenta}\boldsymbol{a}_i},\dots,\boldsymbol{a}_n) \end{aligned}\] et c'est pareil si l'on échange deux lignes.
  3. Lorsqu'on multiplie une colonne par \(\lambda\), le déterminant est multiplié par \(\lambda\): \[ \det(\boldsymbol{a}_1,\dots,{\color{magenta}\lambda}\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n) ={\color{magenta}\lambda} \det(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n) \] et c'est pareil si l'on multiplie une ligne par \(\lambda\).
  4. Lorsqu'on rajoute un multiple d'une colonne à une autre colonne, on ne change pas le déterminant: \[ \det(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i{+\color{magenta}\lambda\boldsymbol{a}_j},\dots,\boldsymbol{a}_n) = \det(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_i,\dots,\boldsymbol{a}_n) \] et c'est pareil si l'on rajoute un multiple d'une ligne à une autre ligne.

Ces propriétés suivent directement du fait que le déterminant est une fonction des colonnes qui est alternée et multilinéaire.

Par exemple, si deux colonnes de \(A\) sont égales, \(\det(A)=0\) suit immédiatement du fait que \(\det(A)=\det(\boldsymbol{a}_1,\dots,\boldsymbol{a}_n)\), et que \(\det\) est alternée. Puis, si deux lignes de \(A\) sont égales, alors deux colonnes de \(A^T\) sont égales, et donc \(\det(A^T)=0\). Par le lemme précédent, \(\det(A)=0\).

Exemple:

  1. Deux colonnes égales: \[ \det \begin{pmatrix} -2&{\color{magenta}0}&8&{\color{magenta}0}\\ 5&{\color{magenta}1}&-8&{\color{magenta}1}\\ -2&{\color{magenta}-3}&0&{\color{magenta}-3}\\ 4&{\color{magenta}7}&1&{\color{magenta}7} \end{pmatrix} =0\,. \]
  2. Échange de deux colonnes: \[ \det \begin{pmatrix} {\color{magenta}-1}&2&{\color{blue}0}&4\\ {\color{magenta}3}&4&{\color{blue}-7}&3\\ {\color{magenta}5}&-2&{\color{blue}2}&5\\ {\color{magenta}1}&6&{\color{blue}-3}&0 \end{pmatrix} = -\det \begin{pmatrix} {\color{blue}0}&2&{\color{magenta}-1}&4\\ {\color{blue}-7}&4&{\color{magenta}3}&3\\ {\color{blue}2}&-2&{\color{magenta}5}&5\\ {\color{blue}-3}&6&{\color{magenta}1}&0 \end{pmatrix}\,. \]
  3. Extraction d'une constante sur une colonne: \[ \det \begin{pmatrix} -1&{\color{magenta}2}&0&4\\ 3&{\color{magenta}4}&-7&3\\ 5&{\color{magenta}-2}&2&5\\ 1&{\color{magenta}6}&-3&0 \end{pmatrix} = {\color{magenta}2} \det \begin{pmatrix} -1&1&0&4\\ 3&2&-7&3\\ 5&-1&2&5\\ 1&3&-3&0 \end{pmatrix}\,. \]
  4. Rajouter un multiple d'une ligne à une autre: \[ \det \begin{pmatrix} -1&2&0&4\\ 3&4&-7&3\\ 5&-2&2&5\\ 1&6&-3&0 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} {\color{magenta}9}&{\color{magenta}-2}&{\color{magenta}4}&{\color{magenta}14}\\ 3&4&-7&3\\ 5&-2&2&5\\ 1&6&-3&0 \end{pmatrix}\,, \] où l'on a rajouté \(2\) fois la troisième ligne à la première.

Ensuite, il existe des matrices dont le calcul du déterminant ne requiert aucune opération particulière:

Une matrice carrée \(A\) est triangulaire supérieure (resp., inférieure) si \(A_{i,j}=0\) dès que \(i\gt j\) (resp., \(i\lt j\)). On dit que la matrice \(A\) est diagonale si \(A_{i,j}=0\) dès que \(i \neq j\). Étant donné \(d_1,\dots,d_n \in \mathbb{R}\), on notera la matrice de taille \( n \times n \) diagonale \[ \mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) := \begin{pmatrix} d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n \end{pmatrix}\,. \]

Exemple: Une matrice de taille \(4\times 4\) triangulaire supérieure: \[ A= \begin{pmatrix} 2&-1&4&-2\\ 0&-5&5&0\\ 0&0&1&-1\\ 0&0&0&3 \end{pmatrix}\,. \]

Lemme: Si \(A\) est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure, alors son déterminant est le produit de ses termes diagonaux: \[ \det(A)=A_{1,1}\cdots A_{n,n}=:\prod_{j=1}^n A_{j,j}\,. \]

Montrons la première affirmation pour les matrices triangulaires supérieures, par récurrence sur \(n\). Pour \(n=2\), on a \[\det \begin{pmatrix} A_{1,1}&0\\ A_{1,2}&A_{2,2} \end{pmatrix} =A_{1,1}A_{2,2}-0\cdot A_{1,2}=\prod_{j=1}^2 A_{j,j}\,. \] Supposons que le résultat est prouvé pour un certain entier \(n\), et considérons une matrice \(A\) de taille \((n+1)\times(n+1)\) triangulaire supérieure. En développant selon la première colonne, et en utilisant le fait que tous les \(A_{j,1}=0\) lorsque \(j=2,\dots,n+1\), il ne reste que le terme \(j=1\). De plus, puisque \(A[1|1]\) est une matrice de taille \(n\times n\) triangulaire supérieure, on peut utiliser l'hypothèse d'induction: \[\begin{aligned} \det(A) &=\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j+1} A_{j,1}\det\big(A[j|1]\big) =(-1)^{1+1} A_{1,1}\det\big(A[1|1]\big) = A_{1,1}\prod_{j=2}^{n+1} A_{j,j}=\prod_{j=1}^{n+1}A_{j,j}\,. \end{aligned}\] Si \(A\) est triangulaire inférieure, alors \(A^T\) est triangulaire supérieure et ses éléments diagonaux sont les mêmes, donc le résultat est aussi vrai.

En particulier, si \(A\) est diagonale, \[ A=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) := \begin{pmatrix} d_1&0&\cdots&0\\ 0&d_2&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&d_n \end{pmatrix}\, \] alors \[ \det(A)=d_1\cdots d_n=\prod_{j=1}^nd_j\,. \]

Exemple: \[ \det \begin{pmatrix} 1&76&-21&98&-5&99\\ 0&\sqrt{2}&0&-6&98&-5\\ 0&0&32&53&75&97\\ 0&0&0&0&42&14\\ 0&0&0&0&21&32\\ 0&0&0&0&0&95 \end{pmatrix} =1\cdot\sqrt{2}\cdot 32\cdot 0\cdot21\cdot 95=0\,. \]

Exemple: Matrice identité: \[\det(I_n)= \det \begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots& \vdots\\ 0&0&\cdots&1 \end{pmatrix} =1^n=1\,. \]

Les propriétés énoncées jusqu'ici fournissent déjà de quoi calculer un déterminant en évitant de le développer systématiquement à l'aide des relations de récurrence. En effet, on a vu que les déterminants les plus simples à calculer sont ceux des matrices triangulaires, et aussi que des opérations sur les colonnes et les lignes correspondent à certaines modifications simples du déterminant. On pourra donc appliquer des opérations sur les lignes et les colonnes, dans le but de rendre la matrice triangulaire supérieure, ou au moins avec autant de zéros que possible, ce qui ensuite d'utiliser les relations de récurrence pour une matrice simplifiée.

Exemple: Utilisons les propriétés pour calculer le déterminant de la matrice \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 2&6&4&8\\ 3&1&1&2 \end{pmatrix}\,. \] On fait déjà apparaître quelques zéros en soustrayant la troisième ligne de la deuxième, ce qui ne change pas le déterminant: \[ \det \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 2&6&4&8\\ 3&1&1&2 \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 3&0&3&0\\ 2&6&4&8\\ 3&1&1&2 \end{pmatrix}\,. \] Ensuite, en soustrayant la première colonne à la troisième, \[ \det \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 3&0&3&0\\ 2&6&4&8\\ 3&1&1&2 \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 1&2&2&4\\ 3&0&0&0\\ 2&6&2&8\\ 3&1&-2&2 \end{pmatrix}\,. \] Maintenant, on peut développer selon la deuxième ligne, puisqu'elle contient beaucoup de zéros: \[ =\det \begin{pmatrix} 1&2&2&4\\ 3&0&0&0\\ 2&6&2&8\\ 3&1&-2&2 \end{pmatrix} =-3 \det \begin{pmatrix} 2&2&4\\ 6&2&8\\ 1&-2&2 \end{pmatrix}\,. \] En mettant en évidence un \(2\) dans les deux premières lignes, puis dans la dernière colonne, \[ \det \begin{pmatrix} 2&2&4\\ 6&2&8\\ 1&-2&2 \end{pmatrix} =2^2 \det \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 3&1&4\\ 1&-2&2 \end{pmatrix} =2^3 \det \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 3&1&2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix}\,. \] En soustrayant la dernière ligne à la première, et en développant selon la première ligne, \[\begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 3&1&2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix} &=\det \begin{pmatrix} 0&3&0\\ 3&1&2\\ 1&-2&1 \end{pmatrix}\\ &=-3\det \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} =-3\cdot 1=-3\,, \end{aligned}\] donc \(\det(A)=(-3)\cdot 2^3\cdot(-3)=72\)\,.

Une curiosité dans le cas \(n=3\)

Dans le cas d'une matrice de taille \(3\times 3\), le développement du déterminant peut se faire à l'aide de la règle de Sarrus. Celle-ci ne contient rien de profond, mais permet de calculer un déterminant de taille \(3\times 3\) de façon systématique, facile à mémoriser. On écrit la matrice \(A\), à la suite de laquelle on rajoute la première et la deuxième colonne. On parcours ensuite ce tableau de taille \(3\times 5\) selon certaines diagonales:

\begin{equation*} \begin{tikzpicture}[>=stealth, add paren/.style={ left delimiter={(}, right delimiter={)}, } ] \matrix [% matrix of math nodes, column sep=1em, row sep = 1em, ] (sarrus) {% & A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} & A_{1,1} & A_{1,2} \\ A= & A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & A_{2,1} & A_{2,2} \\ & A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} & A_{3,1} & A_{3,2} \\ }; \path %($(sarrus-1-1.north west)-(0.5em,0)$) edge ($(sarrus-3-1.south west)-(0.5em,0)$) %($(sarrus-1-3.north east)+(0.5em,0)$) edge ($(sarrus-3-3.south east)+(0.5em,0)$) (sarrus-1-2) edge[blue] (sarrus-2-3) (sarrus-2-3) edge[->, blue] (sarrus-3-4) (sarrus-1-3) edge[blue] (sarrus-2-4) (sarrus-2-4) edge[->, blue] (sarrus-3-5) (sarrus-1-4) edge[blue] (sarrus-2-5) (sarrus-2-5) edge[->, blue] (sarrus-3-6) (sarrus-3-2) edge[dashed, red] (sarrus-2-3) (sarrus-2-3) edge[->,dashed, red] (sarrus-1-4) (sarrus-3-3) edge[dashed, red] (sarrus-2-4) (sarrus-2-4) edge[->,dashed, red] (sarrus-1-5) (sarrus-3-4) edge[dashed, red] (sarrus-2-5) (sarrus-2-5) edge[->,dashed, red] (sarrus-1-6); \foreach \c in {2,3,4} {\node[anchor=south, blue] at (sarrus-1-\c.north) {\(+\)};}; \foreach \c in {2,3,4} {\node[anchor=north, red] at (sarrus-3-\c.south) {\(-\)};}; \node[fit=(sarrus-1-2) (sarrus-3-4), add paren, inner sep=0pt] (submatrix) {}; \end{tikzpicture} \end{equation*} et \[ \det(A) = {\color{blue}A_{1,1} A_{2,2} A_{3,3} + A_{1,2} A_{2,3} A_{3,1} + A_{1,3} A_{2,1} A_{3,2}} {\color{red}- A_{3,1} A_{2,2} A_{1,3} - A_{3,2} A_{2,3} A_{1,1} - A_{3,3} A_{2,1} A_{1,2}}. \]

Remarque: Il n'existe pas d'équivalent simple de la règle de Sarrus pour des déterminants de matrices de tailles supérieures.

Quiz 6.4-1 : Vrai ou faux?
  1. \(\det(\lambda A)=\lambda \det(A)\)
  2. \(\det(A+B)=\det(A)+\det(B)\)
  3. Si \(\widetilde{A}\) est la réduite de \(A\), alors \(\det(\widetilde{A})=\det(A)\).
  4. En effectuant des opérations élémentaires sur une matrice, on ne change pas son déterminant.
  5. Si tous les coefficients de \(A\) sont entiers, alors \(\det(A)\) est un entier.
  6. Si tous les coefficients diagonaux de \(A\) sont nuls, alors \(\det(A)=0\).
  7. Si tous les coefficients de \(A\) sont strictement positifs, alors \(\det(A)\geqslant 0\).
  8. Si \(A\), \(B\) sont deux matrices \(n\times n\) telles que \(a_{ij}\leqslant b_{ij}\) pour tout \(i,j\), alors \(\det(A)\leqslant \det(B)\).
Quiz 6.4-2 : Vrai ou faux?
  1. \[ \det \begin{pmatrix} 0&0&a\\ 0&b&d\\ c&e&f\\ \end{pmatrix} =abc \]
Quiz 6.4-3 : Vrai ou faux?
  1. \[ \det \begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&1\\ 0&1&0&1&0\\ 1&0&1&0&1\\ 0&1&0&1&0 \end{pmatrix} =1 \]
  2. \[ \det \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{pmatrix} =1 \]
  3. \[ \det \begin{pmatrix} 1&1&0&1&0\\ 1&0&1&1&1\\ 1&1&0&0&1\\ 1&1&0&1&1\\ 1&1&0&1&0 \end{pmatrix} =0 \]
  4. \[ \det \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 1&2&3&4&0\\ 1&2&3&0&0\\ 1&2&0&0&0\\ 1&0&0&0&0 \end{pmatrix} =5! \]

Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:30)

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