Considérons d'abord le cas simple, où un des vecteurs, disons \(\boldsymbol{v}\), est parallèle \(\boldsymbol{e}_1\). Dans ce cas, \[ \boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} v_1\\ 0 \end{pmatrix}\,,\qquad \boldsymbol{w}= \begin{pmatrix} w_1\\ w_2 \end{pmatrix}\,. \]

L'aire géométrique vaut donc \[\begin{aligned} \text{Aire}(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})= \|\boldsymbol{v}\|\cdot h=|v_1|\cdot |w_2| &=|v_1w_2|\\ &=|v_1w_2-0w_1|\\ &=\left|\det[\boldsymbol{v}\,\boldsymbol{w}]\right|\,. \end{aligned}\] Dans le cas général, considérons la rotation \(\mathrm{rot}_{-\theta}\), où \(\theta\) est l'angle orienté entre \(\boldsymbol{e}_1\) et \(\boldsymbol{v}\). On a alors que \(\mathrm{rot}_{-\theta}(\boldsymbol{v})\) est parallèle à \(\boldsymbol{e}_1\): De plus, puisque l'aire du parallélogramme ne change pas si ses deux côtés subissent la même rotation: \[ \text{Aire}(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})= \text{Aire}(\mathrm{rot}_{-\theta}(\boldsymbol{v}),\mathrm{rot}_{-\theta}(\boldsymbol{w}))\,. \] Maintenant, le parallélogramme tourné de \(-\theta\) a un de ses côtés parallèle à \(\boldsymbol{e}_1\), et donc on peut calculer son aire avec la formule vue ci-dessus: \[\begin{aligned} \text{Aire}(\mathrm{rot}_{-\theta}(\boldsymbol{v}),\mathrm{rot}_{\theta}(\boldsymbol{w})) &= \left|\det[\mathrm{rot}_{-\theta}(\boldsymbol{v})\,\mathrm{rot}_{\theta}(\boldsymbol{w})]\right| \\ &= \left|\det([\mathrm{rot}_{-\theta}]_{\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}[\boldsymbol{v}\,\boldsymbol{w}])\right| \\ &= \bigl|\underbrace{\det([\mathrm{rot}_{-\theta}]_{\mathcal{B}_{\mathrm{can}}})}_{1} \det([\boldsymbol{v}\,\boldsymbol{w}])\bigr|\\ &= \left|\det([\boldsymbol{v}\,\boldsymbol{w}])\right|\,. \end{aligned}\]