Nous avons déjà vu (ici) que l'on peut toujours exprimer une matrice \(m\times n\) à l'aide de ses lignes: \[ A= \begin{pmatrix} \boldsymbol{\ell}_1^T\\ \vdots\\ \boldsymbol{\ell}_m^T \end{pmatrix}\,, \] où \(\boldsymbol{\ell}_1,\dots,\boldsymbol{\ell}_m\in\mathbb{R}^n\).

1. On a \[\begin{aligned} \boldsymbol{v}\in\mathrm{Lgn}(A)^\perp &\Longleftrightarrow \quad\boldsymbol{v}\cdotp \boldsymbol{\ell}_j=0 \quad\forall j=1,\dots,m\\ &\Longleftrightarrow \quad\boldsymbol{\ell}_j^T\boldsymbol{v}=0 \quad\forall j=1,\dots,m\,. \end{aligned}\] On peut exprimer ces \(m\) conditions simultanément en écrivant \[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\ell}_1^T\\ \vdots\\ \boldsymbol{\ell}_m^T \end{pmatrix} \boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\,, \] qui n'est autre que \(A\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\).
2. Puisque \(\mathrm{Col}(A)=\mathrm{Lgn}(A^T)\), l'affirmation suit de la première partie: \[ \mathrm{Col}(A)^\perp=(\mathrm{Lgn}(A^T))^\perp=\mathrm{Ker}(A^T)\,. \]