Nous avons déjà vu dans la dernière Sous-section %(cliquer) de la Section (cliquer) que l'on peut toujours exprimer une matrice de taille \(m\times n\) à l'aide de ses lignes: \[ A= \begin{pmatrix} \boldsymbol{\ell}_1^T\\ \vdots\\ \boldsymbol{\ell}_m^T \end{pmatrix}\,, \] où \(\boldsymbol{\ell}_1,\dots,\boldsymbol{\ell}_m\in\mathbb{R}^n\).

\item[ \hyperlink{thm-perp-col-lgn-i} {(i)}] On a \[\begin{aligned} \boldsymbol{v}\in\mathrm{Lgn}(A)^\perp &\Longleftrightarrow \quad\boldsymbol{v}\cdotp \boldsymbol{\ell}_j=0 \quad\forall j=1,\dots,m\\ &\Longleftrightarrow \quad\boldsymbol{\ell}_j^T\boldsymbol{v}=0 \quad\forall j=1,\dots,m\,. \end{aligned}\] On peut exprimer ces \(m\) conditions simultanément en écrivant \[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\ell}_1^T\\ \vdots\\ \boldsymbol{\ell}_m^T \end{pmatrix} \boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\,, \] qui n'est autre que \(A\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}\). \item[ \hyperlink{thm-perp-col-lgn-ii} {(ii)}] Comme \(\mathrm{Col}(A)=\mathrm{Lgn}(A^T)\), l'affirmation suit de la première partie: \[ \mathrm{Col}(A)^\perp=\big(\mathrm{Lgn}(A^T)\big)^\perp=\mathrm{Ker}(A^T)\,. \]