Exemple:
Considérons l'application linéaire \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) définie par
\[ T\left(
\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}
\right)
:=
\begin{pmatrix}
2x_2-5x_3\\
x_1+3x_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0&2&-5\\
1&3&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{pmatrix}
\]
Remarquons que lorsqu'une application est définie de cette façon,
il est implicitement admis que les coordonnées
(ici \(x_1,x_2,x_3\))
sont relativement
aux bases canoniques des ensembles de départ et d'arrivée.
Ici, pour les distinguer, nous noterons temporairement
-
\({\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}=(
{\color{magenta}\boldsymbol{e}_1},
{\color{magenta}\boldsymbol{e}_2},
{\color{magenta}\boldsymbol{e}_3})\) la base canonique de
\(\mathbb{R}^3\),
-
\({\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}=(
{\color{blue}\boldsymbol{e}_1},
{\color{blue}\boldsymbol{e}_2})\) la base canonique de \(\mathbb{R}^2\).
Donc la matrice ci-dessus est en fait
\[\begin{aligned}
[T]_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
&=
\bigl[
[T({\color{magenta}\boldsymbol{e}_1})]_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
[T({\color{magenta}\boldsymbol{e}_2})]_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
[T({\color{magenta}\boldsymbol{e}_3})]_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
\bigr]\\
&=
\begin{pmatrix}
0&2&-5\\
1&3&0
\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
Considérons maintenant les bases \(\mathcal{B}=(\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\boldsymbol{b}_3)\)
de \(\mathbb{R}^3\) et \(\mathcal{C}=(\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2)\) de \(\mathbb{R}^2\), où
\[
\boldsymbol{b}_1= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad
\boldsymbol{b}_2= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\,,\quad
\boldsymbol{b}_3= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad
\]
\[
\boldsymbol{c}_1= \begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix}\,,\quad
\boldsymbol{c}_2= \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}\,.
\]
Calculons la matrice de \(T\) relativement à ces deux nouvelles bases,
\([T]_{\mathcal{B}\mathcal{C}}\).
On peut s'aider du schéma

pour retrouver la formule:
\[
[T]_{\mathcal{C}\mathcal{B}}=
P_{\mathcal{C}{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
[T]_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
P_{{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\mathcal{B}}
\]
Or puisque les vecteurs de \(\mathcal{B}\) ont été donnés en composantes relativement
à la base canonique,
\[
[\boldsymbol{b}_1]_{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad
[\boldsymbol{b}_2]_{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix}\,,\quad
[\boldsymbol{b}_3]_{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}= \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad
\]
on a déjà
\[
P_{{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\mathcal{B}}
=
\bigl[
[\boldsymbol{b}_1]_{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\,
[\boldsymbol{b}_2]_{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\,
[\boldsymbol{b}_3]_{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}
\bigr]
=
\begin{pmatrix}
1&1&0\\
1&0&1\\
0&-1&0
\end{pmatrix}\,.
\]
Ensuite,
\[
[\boldsymbol{c}_1]_{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}= \begin{pmatrix} 0\\ -1 \end{pmatrix}\,,\quad
[\boldsymbol{c}_2]_{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}= \begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}\,,
\]
et donc
\[\begin{aligned}
P_{\mathcal{C}{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
&=
{P_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\mathcal{C}}}^{-1}\\
&=\bigl[[\boldsymbol{c}_1]_{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\,
[\boldsymbol{c}_2]_{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\bigr]^{-1}\\
&=
\begin{pmatrix}
0&2\\
-1&3
\end{pmatrix}^{-1}
=
\begin{pmatrix}
3/2&-1\\
1/2&0
\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
On a donc
\[\begin{aligned}
[T]_{\mathcal{C}\mathcal{B}}&=
P_{\mathcal{C}{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
[T]_{{\color{blue}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}}
P_{{\color{magenta}\mathcal{B}_{\mathrm{can}}}\mathcal{B}}\\
&=
\begin{pmatrix}
3/2&-1\\
1/2&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&2&-5\\
1&3&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&1&0\\
1&0&1\\
0&-1&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
-1&13/2&0\\
1&5/2&1
\end{pmatrix}
\end{aligned}\]