Analyse réelle | S. Friedli

8.1 Introduction

Dans la pratique, l'étude d'un problème impliquant un espace vectoriel se fait en choisissant une base, et en travaillant sur les composantes des vecteurs relatives à cette base.

Bien-sûr, un problème peut s'énoncer naturellement dans une base \(\mathcal{B}\), mais être plus facilement soluble dans une autre base \(\mathcal{B}'\), mieux adaptée à la résolution du problème. On aura donc souvent recours à un changement de base.

Nous aborderons le changement de base en deux étapes.

D'abord, nous considérerons le problème de savoir comment les composantes d'un vecteur se transforment quand on change de base dans un espace vectoriel.
Ensuite, nous verrons comment la matrice d'une application linéaire se transforme lorsqu'on change de base dans les espaces vectoriels de départ et d'arrivée.

Nous présenterons chaque méthode dans un espace vectoriel quelconque, puis l'utiliserons dans diverses situations, en particulier pour les applications \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\).