Algèbre Linéaire
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Table des matières
I. Préface
I.1 À propos de ce cours
I.2 Références bibliographiques
I.3 Notation
1. Systèmes d'équations linéaires
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1.1 Introduction
1.2 Définition et exemples
1.3 Sur le nombre de solutions d'un système linéaire
1.4 Transformer un système en un autre
1.5 Matrices et algorithme de Gauss
2. Vecteurs de \(\mathbb{R}^n\)
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2.1 Définitions
2.2 Colinéarité
2.3 Combinaisons linéaires et parties engendrés
2.4 Indépendance linéaire
3. Formulation vectorielle des systèmes d'équations linéaires
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3.1 Systèmes d'équations linéaires: formulation vectorielle
3.2 Sur le nombre de solutions d'un système d'équations linéaires (bis)
3.3 Systèmes d'équations linéaires homogènes et inhomogènes
3.4 Applications linéaires entre \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{R}^m\): introduction
3.5 Matrice d'une application linéaire entre \(\mathbb{R}^n\) et \(\mathbb{R}^m\)
4. Définitions abstraites I: espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels et applications linéaires entre espaces vectoriels
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4.1 Motivation
4.2 Définition et exemples
4.3 Colinéarité et indépendance linéaire
4.4 Sous-espaces vectoriels
4.5 Applications linéaires
4.6 Applications linéaires de \( \mathbb{R}^n \) dans \( \mathbb{R}^m \) injectives, surjectives et bijectives
4.7 Transformations géométriques\({}^{{\color{red}\star}}\)
5. Les opérations matricielles
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5.1 Introduction
5.2 Produit matriciel
5.3 Transposition
5.4 Propriétés du produit et de la transposition de matrices
5.5 Inversion de matrices: définition et propriétés de base
5.6 Inversion de matrices carrées de taille \(2\times 2\)
5.7 Inversion de matrices carrées de taille \(n\times n\): matrices élémentaires et algorithme de Gauss-Jordan
6. Déterminant
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6.1 Introduction
6.2 Déterminant des matrices de taille \(2\times 2\) revisité
6.3 Déterminant des matrices de taille \(n\times n\)
6.4 Propriétés du déterminant
6.5 Interprétation géométrique du déterminant de matrices de taille \(3 \times 3\)
6.6 La formule \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\)
6.7 Critères d'inversibilité de matrices carrées
6.8 Formule de Cramer et conséquences\({}^{{\color{red}\star}}\)
7. Définitions abstraites II: bases, dimension et théorème du rang
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7.1 Introduction
7.2 Bases
7.3 Dimension
7.4 Lien entre familles libres, familles génératrices et applications linéaires
7.5 Une base pour \(\mathrm{Ker}(A)\)
7.6 Une base pour \(\mathrm{Im} (A)\)
7.7 Le Théorème du Rang
8. Représentations en coordonnées et matricielles
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8.1 Introduction
8.2 Coordonnées d'un vecteur relatives à une base
8.3 Représentation matricielle d'une application linéaire relative à deux bases
8.4 Les matrices de passage
8.5 Formule de changement de base
8.6 Exemples
9. Valeurs et vecteurs propres
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9.1 Motivation
9.2 Définitions de valeur propre, de vecteur propre et d'espace propre
9.3 Le polynôme caractéristique
9.4 Multiplicités algébriques et géométriques
10. Diagonalisation
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10.1 Motivation et définition
10.2 Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
10.3 Critère de base
10.4 Deuxième critère
10.5 Puissances de matrices diagonalisables
10.6 Diagonalisation dans le cas complexe\({}^{{\color{red}\star}}\)
11. Produit scalaire et orthogonalité
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11.1 Introduction
11.2 Norme et distance euclidiennes
11.3 Produit scalaire euclidien
11.4 Définition abstraite de produit scalaire et exemples
11.5 À propos de \(\mathrm{Col}(A)\) et \(\mathrm{Lgn}(A)\)
11.6 Familles orthogonales
11.7 Projection sur un vecteur
11.8 Projection sur un sous-espace vectoriel
11.9 Le procédé d'orthogonalisation et d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
11.10 La décomposition QR
12. La méthode des moindres carrés
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12.1 Introduction
12.2 Méthode générale
12.3 Utilisation de la décomposition QR
13. Diagonalisation de matrices symétriques via matrices orthogonales
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13.1 Introduction
13.2 Rappel sur les matrices symétriques et orthogonales
13.3 Sur les espaces propres d'une matrice symétrique
13.4 Théorème de décomposition spectrale
14. La décomposition en valeurs singulières
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14.1 Introduction
14.2 Existence
14.3 Exemples
14.4 Représentation d'une matrice suite sa décomposition en valeurs singulières\({}^{{\color{red}\star}}\)
14.5 Élongations et ellipsoïdes\(^{{\color{red}\star}}\)