10.2 Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes

Théorème: Soient \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\) des valeurs propres distinctes (\(\lambda_i\neq \lambda_j\) si \(i\neq j\)) d'une matrice \(A\), et soient \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\) des vecteurs non-nuls tels que

Alors la famille \(\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\}\) est libre.

On démontre le résultat par récurrence sur \(k\), c'est-à-dire sur le nombre de vecteurs propres dans la famille. Si \(k = 1\), il n'y a rien à démontrer, car c'est direct.

Supposons que le résultat est vrai pour des famille de \(k\) valeurs propres et \(k\) vecteurs propres, et considérons une famille qui en contient \(k+1\) vecteurs:

  • \(\boldsymbol{v}_1\) est vecteur propre associé à \(\lambda_1\),
  • \(\vdots\)
  • \(\boldsymbol{v}_{k+1}\) est vecteur propre associé à \(\lambda_{k+1}\),
où tous les \(\lambda_j\) sont distincts, et tous les \(\boldsymbol{v}_j\) sont non-nuls.

Considérons la relation \[ \alpha_1\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}=\boldsymbol{0}\,. \] Comme avant, agissons de deux manière sur cette relation:
  • en multipliant par \(A\) des deux côtés, \[ \alpha_1\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\cdots +\alpha_{k+1}\lambda_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}=\boldsymbol{0}\,; \]
  • en multipliant par \(\lambda_{k+1}\) des deux côtés, \[ \alpha_1\lambda_{k+1}\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_{k+1}\lambda_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}=\boldsymbol{0}\,. \]
En faisant la différence de ces deux expressions, le terme \(\alpha_{k+1}\lambda_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}\) disparaît, et il reste \[ \alpha_1(\lambda_1-\lambda_{k+1})\boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_{k}(\lambda_k-\lambda_{k+1})\boldsymbol{v}_k= \boldsymbol{0}\,, \] et comme l'hypothèse d'induction garantit que \(\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\}\) est libre, tous les coefficients de cette combinaison linéaire sont nuls: \[ \alpha_1(\lambda_1-\lambda_{k+1})=0\,,\qquad \cdots \qquad, \qquad \alpha_{k}(\lambda_k-\lambda_{k+1})=0\,. \] Mais \(\lambda_{k+1}\) est distinct de toutes les autres valeurs propres: \(\lambda_j-\lambda_{k+1}\neq 0\). De là, on tire que \(\alpha_1=0,\dots,\alpha_k=0\). En réinjectant ces zéros dans la relation de départ, elle devient \[ \alpha_{k+1}\boldsymbol{v}_{k+1}=\boldsymbol{0}\,. \] Comme \(\boldsymbol{v}_{k+1}\neq \boldsymbol{0}\), on conclut que \(\alpha_{k+1}\) est nul comme les autres, et donc que la famille \(\{\boldsymbol{v}_1,\cdots,\boldsymbol{v}_{k+1}\}\) est libre.

On peut effectivement remarquer que dans les quelques exemples vus précédemment, des familles de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes étaient toujours libres.

Exemple: On a vu que la matrice \[A= \begin{pmatrix} 1&6\\ 5&2 \end{pmatrix} \,.\] possède exactement deux valeurs propres, \(\lambda_1=-4\) et \(\lambda_2=7\). Les espaces propres associés sont \[ E_{-4}=\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 6\\-5 \end{pmatrix} \right\}\,,\qquad E_{7}=\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \right\}\,. \] Or si \(\boldsymbol{v}_1\in E_{-4}\) et \(\boldsymbol{v}_2\in E_{7}\) sont tous deux non-nuls, alors \(\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}\) est toujours libre.

Quiz 10.2-1 : Soit \(A\) une matrice \(n\times n\). Vrai ou faux?
  1. Si \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\) sont des vecteurs propres de \(A\), alors \(\{\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\}\) est libre.
  2. Si \(\boldsymbol{v}_1,\dots,\boldsymbol{v}_k\) sont des vecteurs propres distincts de \(A\) (\(\boldsymbol{v}_i\neq \boldsymbol{v}_j\) pour tout \(i\neq j\)), alors ils sont associés à des valeurs propres distinctes.

Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:30)

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