Le résultat va suivre de ce que nous avons vu dans un chapitre précédent: dans \(\mathbb{R}^p\), toute famille de plus de \(p\) vecteurs est liée.

Écrivons \(\mathcal{F}=\{w_1,\dots,w_k\}\subseteq W\), avec \(k\gt p\). Considérons la relation linéaire \[(*)_1:\qquad \alpha_1w_1+\dots+\alpha_kw_k=\mathbf{0}_{V}\,.\] Appliquons \([\cdot]_\mathcal{B}\) des deux côtés de cette relation. Par linéarité, et comme \([\mathbf{0}_V]_\mathcal{B}=\boldsymbol{0}\), on a \[(*)_2:\qquad \alpha_1[w_1]_\mathcal{B}+\dots+\alpha_k[w_k]_\mathcal{B}=\boldsymbol{0}\,.\] Comme \(\{[w_1]_\mathcal{B},\dots,[w_k]_\mathcal{B}\}\) est une famille de vecteurs de \(\mathbb{R}^p\), on sait qu'elle est liée puisque \(k\gt p\). On conclut qu'il existe une famille de coefficients \(\alpha_1,\dots,\alpha_k\), non tous nuls, tels que \((*)_2\) soit vérifiée. Puisque \([\cdot]_\mathcal{B}\) est linéaire et inversible, sa réciproque \([\cdot]_\mathcal{B}^{-1}\) est aussi linéaire (voir lemme de la section précédente). Donc en appliquant \([\cdot]_\mathcal{B}^{-1}\) des deux côtés de \((*)_2\), on récupère \((*)_1\), qui est donc vérifiée pour les mêmes coefficients \(\alpha_j\), ce qui implique que \(\mathcal{F}\) est liée.

Soient \(\mathcal{B}= \{ v_1,\dots,v_p \} \) et \(\mathcal{B}'=\{ w_1,\dots,w_q \} \) deux bases de \(V\). Si on suppose que \(p\gt q\), alors le lemme précédent implique que \(\mathcal{B}\) est liée, ce qui n'est pas possible puisque \(\mathcal{B}\) est une base; on conclut que \(p\leqslant q\). De même, si on suppose que \(q\gt p\), alors le lemme précédent implique que \(\mathcal{B}'\) est liée, ce qui n'est pas possible puisque \(\mathcal{B}'\) est une base; on conclut que \(q\leqslant p\). On a donc \(p=q\).

Supposons que \(\mathcal{F} \subseteq V\), \(\mathcal{F}= \{ v_1,\dots,v_n \} \), est libre. Prenons un \(v\in V\), et définissons \(\mathcal{F}':= \mathcal{F}\cup\{v\}\). Le Théorème précédent nous dit que \(\mathcal{F}'\) est liée, car elle contient \(n+1\) vecteur. Alors, il existe \(\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1}\), pas tous nuls, tels que \[ \lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n+\lambda_{n+1}v=0\,. \] Si \(\lambda_{n+1}=0\), cela signifie qu'au moins un des \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) est non-nul, et que \[ \lambda_1v_1+\cdots+\lambda_nv_n=0\,, \] et donc que \(\mathcal{F}\) est liée, une contradiction. On en conclut que \(\lambda_{n+1}\neq 0\), ce qui permet d'écrire \(w\) comme combinaison linéaire des éléments de \(\mathcal{F}\): \[ v=-\frac{\lambda_1}{\lambda_{n+1}}v_1-\cdots-\frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}}v_n\,. \] Donc \(\mathcal{F}\) est bien une base de \(V\).

Pour montrer la première partie, on procède pas l'absurde. On suppose qu'il existe \(\alpha_1, \dots, \alpha_{r+1} \in \mathbb{R}\) tels que au moins est un non nul et \[ v_1 + \dots + \alpha_{r+1} v_{r+1} = \mathbf{0}_{V}. \] On affirme que \(\alpha_{r+1} \neq 0\) dans ce cas. En effet, si \(\alpha_{r+1} = 0\), alors \begin{Refe} \eqref{eq:cl_ex_s8_ext_fam_libre} \end{Refe} (EQ) devient \[ \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_r v_r = \mathbf{0}_{V}, \] ce qui implique \(\alpha_1 = \dots = \alpha_r = 0\), vu que \(\mathcal{F}\) est libre, mais cela est absurde, car on avait supposé qu'au moins un coefficient dans \begin{Refe}\eqref{eq:cl_ex_s8_ext_fam_libre}\end{Refe} (EQ) est non nul. En conséquence, \(\alpha_{r+1} \neq 0\) et \begin{Refe} \eqref{eq:cl_ex_s8_ext_fam_libre} \end{Refe} (EQ) nous dit que \[ v_{r+1} = \frac{\alpha_1}{\alpha_{r+1}} v_1 + \dots + \frac{\alpha_r}{\alpha_{r+1}} v_r \in \mathrm{Vect}\mathcal{F}, \] ce qui est absurde, car on avait supposé que \(v_{r+1} \notin \mathrm{Vect}\mathcal{F}\). En conséquence, \( \{ v_{r+1} \} \cup \mathcal{F} = \{ v_{1}, \dots, v_{r+1} \} \) est libre. On montre la dernière partie du théorème. Si \(r=n\), alors \(\mathcal{F}\) est une base et on pose donc \(\mathcal{B}= \mathcal{F}\). On suppose désormais \(r\lt n\) et en conséquence \(\mathcal{F}\) n'engendre pas \(V\). Alors, il existe au moins un vecteur \(v_{r+1}\in V\) qui ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de \(\mathcal{F}\). La première partie nous dit que \[ \{ v_1,\dots,v_r,v_{r+1} \} \] est libre. Si cette famille n'engendre toujours pas \(V\), on recommence: il doit exister un vecteur \(v_{r+2}\in V\) qui ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de ses éléments, et donc \[\{v_1,\dots,v_r,v_{r+1},v_{r+2}\} \] est libre, d'après la première partie du théorème. Comme la dimension de \(V\) est finie et vaut \(n\), ce procédé continue jusqu'à obtenir une famille libre qui contient exactement \(n\) éléments, et qui forme donc une base de \(V\).