Si l'on considère la matrice \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] on voit que son polynôme caractéristique est \(P_A(\lambda) = \lambda^2 + 1\), qui n'a pas de racines réelles. En conséquence, on ne peut pas a priori appliquer aucune des définitions ou méthodes de ce chapitre ou celui d'avant, car \(A\) n'a pas de valeurs propres (réelles). Par contre, cette restriction de considérer des valeurs et vecteurs propres réels est d'une certaine façon artificielle, car on voit bien que le polynôme \(P_A(\lambda) = \lambda^2 + 1\) admet précisément deux racines: \(-i\) et \(i\) dans \(\mathbb{C}\).
En fait, de façon plus générale, toutes les définitions et résultats de ce chapitre et celui d'avant peuvent se faire en considérant des nombres complexes, en particulier, on peut parler des valeurs et vecteurs propres complexes. L'avantage de ce point de vue c'est que l'on peut trouver dans \(\mathbb{C}\) toutes les racines du polynôme caractéristique de toute matrice carrée \(A\) (même si \(A\) a des coefficients réels). Dans ce sens, toute matrice carrée de taille \(n \times n\) possède toujours des valeurs propres. Au lieu de voir la théorie générale, qui est plus ou moins pareille à celle que l'on étudie dans le cas réel, on va se contenter dans cette section de faire seulement un exemple pour illustrer un peu la situation.
Exemple:
Soit
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & 2 & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}\,.
\]
On va montrer que \(A\) est diagonalisable si l'on travaille dans les complexes,
mais elle n'est pas diagonalisable si l'on travaille seulement avec les nombres
réels.
On calcule d'abord le polynôme caractéristique de \(A\),
qui nous donne
\[\begin{aligned}
P_{A}(\lambda)
&= \det(A - \lambda I_{3})
=
\det
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} - \lambda & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & 2 - \lambda & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{1}{2} - \lambda
\end{pmatrix}
\\
&=
(2-\lambda)
\det
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} - \lambda & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} - \lambda
\end{pmatrix}
\\
& = - (\lambda-2) (\lambda^{2} - \lambda + 1)\,.
\end{aligned}\]
Comme le discriminant du polynôme \(\lambda^{2} - \lambda + 1\) est négatif, il n'a pas de racines réelles.
Si l'on travaille avec les nombres complexes, on note par contre que
\[
P_{A}(\lambda) = - (\lambda-2) (\lambda^{2} - \lambda + 1)
= - (\lambda-2) \bigg(\lambda - \frac{1-i\sqrt{3}}{2}\bigg) \bigg(\lambda - \frac{1+i\sqrt{3}}{2}\bigg)\,.
\]
En conséquence,
les valeurs propres de \(A\) sont \(2\), \((1-i\sqrt{3})/2\) et \((1+i\sqrt{3})/2\), chacune avec multiplicité algébrique \(1\).
On calcule maintenant une base des espaces propres associées.
Pour \(\lambda = 2\), on a
\[\begin{aligned}
E_{2} &= \mathrm{Ker}(A- 2I_3)
= \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & 0 & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
et comme la forme échelonnée réduite de \(A-2I_3\) est
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
on voit que
\[\begin{aligned}
E_{2} &= \mathrm{Ker} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\
x_2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_1 = x_3 = 0 \right\}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} 0
\\
x_2
\\
0 \end{pmatrix} : x_2 \in \mathbb{R} \right\}
\\
&=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 0
\\
1
\\
0 \end{pmatrix}
\right\}\,.
\end{aligned}\]
Pour \(\lambda = (1-i \sqrt{3})/2\), on a
\[\begin{aligned}
E_{\frac{1-i\sqrt{3}}{2}} &= \mathrm{Ker}\bigg(A-\frac{1-i\sqrt{3}}{2}I_3\bigg)
= \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} i\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\,.
\end{aligned}\]
On calcule la forme échelonnée réduite de \(A-((1-\sqrt{3})/2)I_3\), ce qui nous donne
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix} i\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
&\overset{
\substack{
L_1 \leftarrow -i \frac{2}{\sqrt{3}}L_1
\\
L_2 \leftarrow \frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+i)}L_2
\\
L_3 \leftarrow \, -\frac{2}{\sqrt{3}}L_3
}
}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -i
\\
0 & 1 & 0
\\
1 & 0 & -i \end{pmatrix}
\overset{L_3 \leftarrow L_3-L_1}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -i
\\
0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\,.
\end{aligned}\]
En conséquence,
\[\begin{aligned}
E_{\frac{1-i\sqrt{3}}{2}} &= \mathrm{Ker} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -i
\\
0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\
x_2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_1 = i x_3, x_2 = 0 \right\}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix}
ix_3
\\
0
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_3 \in \mathbb{C} \right\}
\\
&=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} i
\\
0
\\
1 \end{pmatrix}\right\}\,.
\end{aligned}\]
Pour \(\lambda = (1+i \sqrt{3})/2\), on a
\[\begin{aligned}
E_{\frac{1+i\sqrt{3}}{2}} &= \mathrm{Ker}\bigg(A-\frac{1+i\sqrt{3}}{2}I_3\bigg)
= \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} -i\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}\,.
\end{aligned}\]
On calcule la forme échelonnée réduite de \(A-((1+\sqrt{3})/2)I_3\), ce qui
nous donne
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
-i\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}
\\
0 & \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} & 0
\\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & -i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
&\overset{
\substack{
L_1 \leftarrow i \frac{2}{\sqrt{3}}L_1
\\
L_2 \leftarrow \frac{2}{\sqrt{3}(\sqrt{3}-i)}L_2
\\
L_3 \leftarrow \, -\frac{2}{\sqrt{3}}L_3
}
}
{\longrightarrow}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & i
\\
0 & 1 & 0
\\
1 & 0 & i \end{pmatrix}
\overset{L_3 \leftarrow L_3-L_1}{\longrightarrow}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & i \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}\,.
\end{aligned}\]
En conséquence,
\[\begin{aligned}
E_{\frac{1+i\sqrt{3}}{2}} &= \mathrm{Ker} \begin{pmatrix} 1 & 0 & i
\\
0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\
x_2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_1 = -i x_3, x_2 = 0 \right\}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix}
-ix_3
\\
0
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_3 \in \mathbb{C} \right\}
\\
&=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} -i
\\
0
\\
1 \end{pmatrix}\right\}\,.
\end{aligned}\]
Alors, si l'on pose
\[
D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0
\\
0 & \frac{1-i\sqrt{3}}{2} & 0
\\
0 & 0 & \frac{1+i\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix} \, \qquad \text{ et } \qquad
P = \begin{pmatrix} 0 & i & -i
\\
1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}\,,
\]
on voit que
\[
A = P D P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & i & -i
\\
1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0
\\
0 & \frac{1-i\sqrt{3}}{2} & 0
\\
0 & 0 & \frac{1+i\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0
\\
-\frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\\
\frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}\,,
\]
où l'on a calculé \(P^{-1}\) avec la méthode de Gauss-Jordan.
On conclut que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathbb{C}\) mais pas dans \(\mathbb{R}\).
Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:30)
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