13.2 Rappel sur les matrices symétriques et orthogonales

Dans ce chapitre, on ne traitera que des matrices carrées.

On rappelle qu'une matrice \(A\) de taille \(n\times n\) est symétrique si \(A^T=A\), c'est-à-dire si \[ A_{j,i}=A_{i,j}\,,\qquad \forall i,j=1,2,\dots,n\,. \]

Donc une matrice symétrique a ses coefficients symétriques par rapport à la diagonale.

Exemple:

Avant de commencer l'étude des propriétés remarquables des matrices symétriques, introduisons une autre classe de matrices, intimement liées (comme on le verra) aux matrices symétriques:

On rappelle qu'une matrice \(A\) de taille \(n\times n\) est orthogonale si \[A^TA=I_n\,.\]

Remarque: On affirme qu'une matrice carrée \(A\) de taille \(n\) est orthogonale si et seulement si \[A^TA=AA^T=I_n\,.\] C'est clair que si \(A\) vérifie la condition précédente elle est orthogonale. Réciproquement, par sa définition, une matrice carrée \(A\) de taille \(n\) orthogonale a noyau trivial. En effet, si \(A\boldsymbol{v} = \boldsymbol{0}\), alors \[ \boldsymbol{v}=I_n\boldsymbol{v}=A^TA\boldsymbol{v} = A^T\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}, \] ce qui nous dit que le noyau de \(A\) est trivial. Comme \(A\) est une matrice carrée, elle est donc inversible. En plus, \(A^{-1} = A^T\), car \[ A^T = A^T I_n = A^T (A A^{-1}) = (A^T A) A^{-1} = I_n A^{-1} = A^{-1}, \] ce qui nous dit qu'une matrice carrée orthogonale \(A\) vérifie \[A^TA=AA^T=I_n\,.\]

En général, dans le cas des matrices de taille \(n\times n\), on parle des matrices orthogonales de déterminant \(1\) comme des rotations, puisqu'elles représentent des transformations rigides, qui préservent l'orthogonalité. Nous reviendrons là-dessus.

Quiz 13.2-1 : Soit \(A\) une matrice \(n\times n\). Vrai ou faux?
  1. Si \(A\) est symétrique, alors \(A\) est orthogonale.
  2. Si \(A\) est orthogonale, alors \(A\) est symétrique.
  3. Si \(A\) est symétrique, alors \(A^T\) est symétrique.
  4. Si \(A\) est à la fois symétrique et orthogonale, alors \(A=\pm I_n\).
Quiz 13.2-2 : Soit \(G\) une matrice \(n\times n\) orthogonale. Vrai ou faux?
  1. \(G^T\) est orthogonale.
  2. La transformation \(\boldsymbol{x}\mapsto G\boldsymbol{x}\) est bijective.
  3. Les colonnes de \(G\) forment une base orthonormée de \(\mathbb{R}^n\)
  4. Tous les coefficients de \(G\) sont positifs.
  5. \(GG^T\) est symétrique.
  6. Pour tout \(\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\), \(G\boldsymbol{x}\) est un vecteur unitaire.
  7. \(G\) est diagonalisable.

Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:31)

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