Dans cette section, nous allons appliquer quelques-unes des
notions relatives aux applications linéaires \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\).
Nous avions vu que
toute application \(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) de
la forme \(T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\) est linéaire
(voir le Lemme dans la Section (cliquer)).
De façon plus générale on a le résultat suivant :
Théorème: Si \(T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) est linéaire, alors il existe une unique matrice \(A\) de taille (\(m\times n\)) telle que \[ T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\,,\qquad \forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\,. \] De plus, la matrice \(A\) est celle dont les colonnes sont les images par \(T\) des vecteurs de la base canonique (voir la dernière sous-section de la Section (cliquer): \[ A= \bigl[ T(\boldsymbol{e}_1) \cdots T(\boldsymbol{e}_n) \bigr]\,. \]
Exemple: Considérons l'application linéaire \(T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2\) déjà considérée précédemment: \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\boldsymbol{x} \mapsto T(\boldsymbol{x}):= \begin{pmatrix} -x_1+3x_2+5x_3\\ x_3+7x_1 \end{pmatrix}\,. \] En calculant les images des vecteurs de base, \[\begin{aligned} T(\boldsymbol{e}_1) &=T\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+3\cdot 0+5\cdot 0\\ 0+7\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 7 \end{pmatrix}\,,\\ T(\boldsymbol{e}_2) &=T\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3\cdot 1+5\cdot 0\\ 0+7\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix}\,,\\ T(\boldsymbol{e}_3) &=T \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3\cdot 0+5\cdot 1\\ 1+7\cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}\,, \end{aligned}\] ce qui donne la matrice associée à \(T\): \[ A= \begin{pmatrix} -1&3&5\\ 7&0&1 \end{pmatrix}\,. \]
Exemple: Considérons l'application \(T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\): \[ \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\boldsymbol{x} \mapsto T(\boldsymbol{x}):= x_2-3x_1\,. \] (On montre facilement que cette application est linéaire.) En calculant les images des vecteurs de base, \[\begin{aligned} T(\boldsymbol{e}_1) &=T\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = 0-3\cdot 1=-3\,,\\ T(\boldsymbol{e}_2) &=T\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = 1-3\cdot 0=1\,,\\ T(\boldsymbol{e}_3) &=T\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = 0-3\cdot 0=0\,, \end{aligned}\] ce qui donne la matrice de taille \(1\times 3\) associée à \(T\): \[ A= \bigl[ T(\boldsymbol{e}_1)\,T(\boldsymbol{e}_2)\, T(\boldsymbol{e}_3) \bigr] = \begin{pmatrix} -3&1&0 \end{pmatrix}\,. \] En effet, \[ T(\boldsymbol{x})= A\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} -3&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =-3x_1+x_2\,. \]
Remarque:
Les applications linéaires
\(T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)
définies jusqu'ici ont toujours été définies
en composantes, c'est-à-dire en définissant
les composantes de \(T(\boldsymbol{x})\in \mathbb{R}^m\) à l'aide
des composantes de \(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n\), comme dans les deux exemples
précédents.
Il faut garder à l'esprit que pour l'instant, ces composantes sont toujours des
composantes associées à la base canonique.
En général, comme on verra plus tard, une application n'a pas besoin d'être définie
à l'aide de composantes, et on pourra effectivement lui associer une matrice à partir de choisir une base, une notion que l'on va introduire dans les prochains chapitres.
Nous aurons encore beaucoup à dire sur les
applications linéaires, qui sont les vraies
''fonctions'' étudiées en algèbre linéaire
(un peu comme les fonctions continues sont les fonctions les plus étudiées en
analyse).
Mais avant d'en dire plus, nous allons faire un pause, dans le chapitre suivant,
et reprendre tout ce que nous avons fait jusqu'ici, en adoptant un point de vue
beaucoup plus général, celui des espaces vectoriels abstraits.
Nous introduirons plus de choses dans ce cadre, en particulier à propos des
applications linéaires d'un espace vectoriel dans un autre. Plus tard, nous
appliquerons alors ces notions lorsque nous reviendrons plus en profondeur sur
les applications linéaires du type \(\boldsymbol{x}\mapsto T(\boldsymbol{x})=A\boldsymbol{x}\).
Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:29)
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