Dans cette section on va voir une application pratique de la diagonalisation.
Lemme:
Soit \(A\) un matrice de taille \(n \times n\) diagonalisable.
En conséquence, il existe une matrice inversible \(P\) de taille \(n \times n\) telle que \(P^{-1} A P\) est une matrice diagonale \(\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)\), ce qui équivaut à écrire
\[ A = P \mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n) P^{-1}\,. \]
Alors, pour tout entier positif \(k\),
\[
A^k = P \mathrm{diag}(d_1^k,\dots,d_n^k) P^{-1}\,.
\]
Exemple:
Soit
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0
\\
\frac{4}{9} & \frac{7}{9} & -\frac{8}{9}
\\
\frac{8}{9} & -\frac{4}{9} & -\frac{7}{9}
\end{pmatrix}\,.
\]
On va calculer \(A^{1000}\).
Pour le faire, on va montrer que \(A\) est diagonalisable et la diagonaliser.
On calcule d'abord le polynôme caractéristique de \(A\), qui nous donne
\[\begin{aligned}
P_{A}(\lambda) &= \det(A - \lambda I_{3})
=
\det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 & 0
\\
\frac{4}{9} & \frac{7}{9} - \lambda & -\frac{8}{9}
\\
\frac{8}{9} & -\frac{4}{9} & -\frac{7}{9} - \lambda \end{pmatrix}
\\
&=
(1-\lambda) \det \begin{pmatrix} \frac{7}{9}-\lambda & -\frac{8}{9} \\ -\frac{4}{9} & -\frac{7}{9} - \lambda \end{pmatrix}
\\
&= - (\lambda-1) \bigg(\lambda^{2} - \frac{49}{81} - \frac{32}{81}\bigg)
\\
& = - (\lambda-1) (\lambda^{2} - 1) = - (\lambda-1)^{2} (\lambda+1)\,.
\end{aligned}\]
En conséquence, les valeurs propres de \(A\) sont \(-1\), avec multiplicité algébrique \(1\), et \(1\), avec multiplicité algébrique \(2\).
On calcule maintenant une base des espaces propres associées.
Pour \(\lambda = -1\), on a
\[\begin{aligned}
E_{-1} &= \mathrm{Ker}(A+I_3)
= \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0
\\
\frac{4}{9} & \frac{16}{9} & -\frac{8}{9}
\\
\frac{8}{9} & -\frac{4}{9} & \frac{2}{9} \end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
et comme la forme échelonnée réduite de \(A+I_3\) est
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & -\frac{1}{2}
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
on voit que
\[\begin{aligned}
E_{-1} &= \mathrm{Ker} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & -\frac{1}{2}
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\
x_2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_1 = 0, x_2 = x_3/2 \right\}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} 0
\\
x_3/2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_3 \in \mathbb{R} \right\}
\\
&=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 0
\\
1/2
\\
1 \end{pmatrix}\right\}
=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 0
\\
1
\\
2 \end{pmatrix}\right\}\,.
\end{aligned}\]
De façon analogue, pour \(\lambda = 1\), on a
\[\begin{aligned}
E_{1} &= \mathrm{Ker}(A-I_3)
= \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0
\\
\frac{4}{9} & -\frac{2}{9} & -\frac{8}{9}
\\
\frac{8}{9} & -\frac{4}{9} & -\frac{16}{9} \end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
et comme la forme échelonnée réduite de \(A-I_3\) est
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -2
\\
0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
on voit que
\[\begin{aligned}
E_{1} &= \mathrm{Ker} \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -2
\\
0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix} x_1
\\
x_2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_1 = \frac{x_2}{2} + 2 x_3 \right\}
\\
&=
\left\{ \begin{pmatrix}
\frac{x_2}{2} + 2 x_3
\\
x_2
\\
x_3 \end{pmatrix} : x_2, x_3 \in \mathbb{R} \right\}
\\
&=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1/2
\\
1
\\
0 \end{pmatrix} \,,
\begin{pmatrix} 2
\\
0
\\
1 \end{pmatrix}\right\}
=
\mathrm{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1
\\
2
\\
0 \end{pmatrix} \,,
\begin{pmatrix} 2
\\
0
\\
1 \end{pmatrix}\right\}\,.
\end{aligned}\]
Alors, si l'on pose
\[
D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \, \qquad \text{ et } \qquad
P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2
\\
1 & 2 & 0
\\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}\,
\]
on voit que
\[
A = P D P^{-1}\,,
\]
ce qui implique que
\[
A^{1000} = P D^{1000} P^{-1}\,.
\]
Or,
\[
D^{1000} =
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{1000}
=
\begin{pmatrix} (-1)^{1000} & 0 & 0
\\
0 & 1^{1000} & 0
\\
0 & 0 & 1^{1000}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
= I_3\,,
\]
ce qui nous dit que
\[
A^{1000} = P D^{1000} P^{-1} = P I_3 P^{-1} = P P^{-1} = I_3\,.
\]
Exemple:[Un exemple sur modèles de population]
Dans cet exemple on va étudier l'évolution dans le temps d'une population
d'organismes du même type.
Nos hypothèses sur ces organismes sont:
- (H1) chaque
organisme a une durée de vie maximale de \(N \in \mathbb{N}^*\) unités de temps (e.g. minutes, heures, jours, années), et on va noter l'âge d'un organisme avec \(1 \leqslant i \leqslant N\);
- (H2) si
un organisme a âge \(1 \leqslant i < N\), la
probabilité de survivre encore un jour est \(p_{i+1 \leftarrow i} \in [0,1]\);
- (H3) si
un organisme a âge \(1 \leqslant i \leqslant N\), la
quantité d'organismes qu'il engendre est \(r_i \in \mathbb{N}\).
On remarque que l'on considère qu'
un organisme a âge \(i\) s'il a vécu \(i-1\) unités de temps mais pas (encore) son \(i\)-ème unité de temps.
En particulier, l'âge d'un organisme nouveau-né est \(i = 1\).
On va noter \(q_i(k)\) la
quantité d'organismes ayant âge \(i\) au temps \(k \in \mathbb{N}\) (aussi mesuré dans les mêmes unités de temps que l'âge des organismes).
Dans notre modèle, on considère que l'unité de temps choisie est trop petite par rapport aux quantités étudiées de sorte qu'il n'ait pas trop de sens d'analyser le comportement de ces quantités à l'intérieur d'une unité de temps.
D'après nos hypothèses
\[\begin{aligned}
q_1(k+1) &= r_1 q_1(k) + \cdots + r_N q_N(k),
\\
q_i(k+1) &= p_{i \leftarrow (i-1)} q_i(k),
\end{aligned}\]
pour tout \(1 < i \leqslant N\) et \(k \in \mathbb{N}\).
Si l'on pose
\[
\boldsymbol{q}(k) :=
\begin{pmatrix}
q_1(k) \\ q_2(k) \\ \vdots \\ q_N(k)
\end{pmatrix}\,,
\]
alors
\[\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
q_1(k+1) \\ q_2(k+1) \\ q_3(k+1) \\ \vdots \\ q_N(k+1)
\end{pmatrix}
&=
\left(\begin{array}{ccccccccc}
r_1 q_1(k) &+& r_2 q_2(k) &+& \cdots &+& r_{N-1} q_{N-1}(k) &+& r_N q_N(k)
\\
p_{2 \leftarrow 1} q_1(k) &&&&&&&&
\\
&& p_{3 \leftarrow 2} q_2(k) &&&&&&
\\
&&&&\vdots&&&&
\\ &&&&&& p_{N \leftarrow (N-1)} q_{N-1}(k) &&
\end{array}
\right)
\\
&=
\underset{=:L}{\underbrace{\begin{pmatrix}
r_1 & r_2 & \cdots & r_{N-1} & r_N
\\
p_{2 \leftarrow 1} & 0 & \cdots & 0 & 0
\\
0 & p_{3 \leftarrow 2} & \cdots & 0 & 0
\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots
\\
0 & 0 & \cdots & p_{N \leftarrow (N-1)} & 0
\end{pmatrix}}}
\begin{pmatrix}
q_1(k) \\ q_2(k) \\ \vdots \\ q_{N-1}(k) \\ q_N(k)
\end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
i.e.
\[
\boldsymbol{q}(k+1) = L \boldsymbol{q}(k)\,,
\]
ce qui implique que
\[
\boldsymbol{q}(k) = L^{k} \boldsymbol{q}(0)\,.
\]
La matrice \(L\) est appelée la
matrice de Leslie du modèle.
On est ainsi intéressé à calculer \(L^{k}\) pour \(k \gg 1 \).
On va calculer \(\boldsymbol{q}(k)\) pour l'exemple de modèle de population avec \(N = 3\) donnée par la matrice de Leslie
\[
L =
\begin{pmatrix}
0 & 7 & 6
\\
1 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]
et l'état initial
\[
\boldsymbol{q}(0)
=
\begin{pmatrix}
0
\\
1
\\
1
\end{pmatrix}\,.
\]
On va montrer que \(L\) est diagonalisable et on va appliquer le lemme précédent pour calculer \(L^k\).
Dans ce cas le polynôme caractéristique de \(L\) est
\[
P_L(\lambda) = \det(L - \lambda I_3) =
\det\begin{pmatrix}
-\lambda & 7 & 6
\\
1 & -\lambda & 0
\\
0 & 1 & -\lambda
\end{pmatrix}
=
-\lambda^3 + 7 \lambda + 6\,,
\]
où l'on a développé selon la première ligne.
En regardant les diviseurs de \(6\), on voit que \(\lambda = -2, -1, 3\) sont des racines de \(P_L(\lambda)\).
En conséquence, les valeurs propres de \(L\) sont \(\lambda = -2, -1, 3\).
Comme on a trois valeurs propres différentes, \(L\) est diagonalisable.
En fait, on voit bien que
\[
\boldsymbol{v}_{1} = \begin{pmatrix}
4
\\
-2
\\
1
\end{pmatrix}\,, \qquad
\boldsymbol{v}_{2} = \begin{pmatrix}
1
\\
-1
\\
1
\end{pmatrix}\, \qquad
\text{ et }
\qquad
\boldsymbol{v}_{3} = \begin{pmatrix}
9
\\
3
\\
1
\end{pmatrix}
\]
sont des vecteurs propres de \(L\) associés aux valeurs propres \(\lambda = -2, -1, 3\), respectivement.
Alors, si l'on pose
\[
P
=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 9
\\
-2 & -1 & 3
\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\, \qquad
\text{ et } \qquad
D
=
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0
\\
0 & -1 & 0
\\
0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\]
on voit que
\[
L = P D P^{-1}\,.
\]
On a aussi dans ce cas que
\[
P^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5}
\\
-\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{2}
\\
\frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{1}{10}
\end{pmatrix}\,.
\]
On conclut que
\[\begin{aligned}
L^{k} = P D^{k} P^{-1}
&=
\begin{pmatrix}
4 & 1 & 9
\\
-2 & -1 & 3
\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
(-2)^k & 0 & 0
\\
0 & (-1)^k & 0
\\
0 & 0 & 3^k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5}
\\
-\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{2}
\\
\frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{1}{10}
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
(-2)^{k+2} & (-1)^{k+2} & 3^{k+2}
\\
(-2)^{k+1} & (-1)^{k+1} & 3^{k+1}
\\
(-2)^k & (-1)^k & 3^k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5}
\\
-\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{2}
\\
\frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{1}{10}
\end{pmatrix}\,,
\end{aligned}\]
ce qui nous dit que
\[\begin{aligned}
\boldsymbol{q}(k) &= L^k \boldsymbol{q}(0)
=
\begin{pmatrix}
(-2)^{k+2} & (-1)^{k+2} & 3^{k+2}
\\
(-2)^{k+1} & (-1)^{k+1} & 3^{k+1}
\\
(-2)^k & (-1)^k & 3^k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & -\frac{3}{5}
\\
-\frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{2}
\\
\frac{1}{20} & \frac{3}{20} & \frac{1}{10}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0
\\
1
\\
1
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
(-2)^{k+2} & (-1)^{k+2} & 3^{k+2}
\\
(-2)^{k+1} & (-1)^{k+1} & 3^{k+1}
\\
(-2)^k & (-1)^k & 3^k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1
\\
\frac{7}{4}
\\
\frac{1}{4}
\end{pmatrix}
\\
&=
\frac{1}{4}\begin{pmatrix}
-4 (-2)^{k+2} + 7 (-1)^{k+2} + 3^{k+2}
\\
-4 (-2)^{k+1} + 7 (-1)^{k+1} + 3^{k+1}
\\
-4 (-2)^k + 7 (-1)^k + 3^k
\end{pmatrix}\,.
\end{aligned}\]
Si l'on pose \(a_k = (-4 (-2)^k + 7 (-1)^k + 3^k)/4\), on trouve ainsi
\[
\boldsymbol{q}(k)
=
\begin{pmatrix}
a_{k+2}
\\
a_{k+1}
\\
a_k
\end{pmatrix}
\,.
\]
On sait que la limite de \(a_k\) lorsque \(k\) tend vers infini est aussi \(+ \infty\), vu que l'opérande \(3^k\) est dominant.
On peut aussi calculer les premières valeurs de \(a_k\), ce qui donne
