Dans la section précédente, nous avons vu un premier critère d'inversibilité général pour une matrice \(A\), caractérisé par la possibilité de réduire (ou non) \(A\) à l'identité. Relions maintenant l'inversibilité à d'autres propriétés algébriques. (Dans la suite du cours, d'autres critères viendront s'ajouter à cette liste.)
Théorème: (Critères d'inversibilité) Soit \(A\) une matrice de taille \(n\times n\). Alors, les propriétés suivantes sont toutes équivalentes:
Les équivalences
(i)
\(\Leftrightarrow\)
(ii)
\(\Leftrightarrow\)
(iii) ont été démontrées
dans le Théorème
et le Corollaire
dans la Section (cliquer).
L'équivalence
(i) \(\Leftrightarrow\)
(iv)
suit du premier Théorème
dans la Section (cliquer).
L'équivalence
(i) \(\Leftrightarrow\)
(v)
suit de l'équivalence entre les items
(i) et
(iv)
du dernier Théorème %(cliquer)
de la Section (cliquer),
où l'on utilise qu'une application linéaire est bijective si et seulement si sa matrice canonique est inversible (voir Lemme %(cliquer)
dans la Section (cliquer)).
L'équivalence
(i)
\(\Leftrightarrow\)
(vi)
suit de combiner l'équivalence entre les items
(i) et
(ii)
du dernier Théorème
de la Section (cliquer)
et l'équivalence entre les items
(i) et
(iii)
du premier Théorème
de la Section (cliquer)
dans la Section (cliquer)).
L'équivalence
(i) \(\Leftrightarrow\)
(vii)
suit de combiner l'équivalence entre les items
(i) et
(ii) du dernier Théorème
de la Section (cliquer)
et l'équivalence entre les items
(i) et
(iv)
du premier Théorème
de la Section (cliquer), où l'on utilise
qu'une application linéaire est bijective si et seulement si sa matrice
canonique est inversible (voir Lemme
dans la Section (cliquer)).
L'équivalence
(i) \(\Leftrightarrow\)
(viii)
suit de combiner l'équivalence entre les items
(i) et
(iii)
du dernier Théorème
de la Section
(cliquer) et l'équivalence entre les items
(i) et
(iv) du deuxième Théorème
de la Section (cliquer), où
l'on utilise qu'une application linéaire est bijective si et seulement si sa matrice canonique est inversible (voir Lemme
dans la Section (cliquer)).
Nous avons insisté plusieurs fois sur le fait que la définition d'inversibilité implique deux conditions: il doit exister \(B\) telle que \(AB=I_n\) et \(BA=I_n\). Or nous avons maintenant les outils pour prouver qu'il suffit qu'une seule de ces conditions soit vérifiée:
Supposons que \(CA=I_n\).
Si \(\boldsymbol{x}\) est solution du système homogène
\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\), alors
\[
\boldsymbol{x}=I_n\boldsymbol{x}=CA\boldsymbol{x}=C(A\boldsymbol{x})=C\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}\,.
\]
Donc le système homogène ne possède que la solution triviale.
En employant l'équivalence entre les conditions (1) et (6) dans le théorème précédent, \(A\) est inversible: son inverse \(A^{-1}\) existe.
En multipliant l'identité \(CA=I_n\) à droite par \(A^{-1}\), on obtient
\(C=A^{-1}\).
Supposons que \(AB=I_n\). Fixons un \(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n\) quelconque. On
a alors \(AB\boldsymbol{y}=I_n\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}\), que l'on peut récrire
\(A\boldsymbol{x}_*=\boldsymbol{y}\) (où \(\boldsymbol{x}_*=B\boldsymbol{y}\)). Ceci implique bien que
\(\boldsymbol{y}\in \mathrm{Im} (A)\). Comme ceci est vrai pour tout \(\boldsymbol{y}\),
on a que
\(\mathrm{Im} (A)=\mathbb{R}^n\).
En employant l'équivalence entre les conditions (1) et (8) dans le théorème précédent, on conclut que \(A\) est inversible.
En multipliant l'identité \(AB=I_n\) à gauche par \(A^{-1}\), on obtient \(A^{-1}=B\).
Dernière compilation: 2025-09-02 (09:33:30)
Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution: Pas d'Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 (CC BY-NC-SA 4.0)
