• 5.1 Définitions et exemples
  
• 5.2 Propriétés des séries convergentes
• 5.3 Le critère de comparaison
• 5.4 Le critère de Leibniz
• 5.5 Séries téléscopiques
• 5.6 Séries \(\sum_n\frac{1}{n^p}\)
• 5.7 Le critère de la limite du quotient
• 5.8 Séries absolument convergentes
• 5.9 Le critère de d'Alembert

Cette semaine:

• 5.10 Le critère de Cauchy
• 5.11 Séries dépendant d'un paramètre

Sur le problème des signes du terme général: Une série \(\sum_na_n\) est conditionnellement convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente. Par exemple, \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{n} \] Ces séries ont des propriétés étranges, qu'on peut par exemple découvrir ici.

1. Faux. Si \(\sum_na_n\) diverge, cela signifie que la suite des sommes partielles \(s_n\) n'a pas de limite réelle, mais cela ne signifie pas forcément qu'elle tend vers \(+\infty\).
2. Faux. Si \(a_n\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(\sum_na_n\) diverge, cela implique que \(s_n\to +\infty\). Mais \(a_n\) n'a pas besoin de tendre vers \(+\infty\). Contre-exemple: \(a_n=\frac1n\) donne une série divergente, dont tous les termes sont positifs, mais \(a_n\to 0\).
3. Faux. Par exemple si \(a_n=1\) pour tout \(n\) alors \(\sum_na_n\) diverge, mais en ôtant par exemple tous les termes d'indices pairs, la série continue à diverger.

Comme vu au début du chapitre sur les séries, les propriétés habituelles sur les sommes (mise en évidence en particulier) ne peuvent s'effectuer que lorsqu'on a affaire à des séries convergentes. Comme \(1+2+2^2+2^3+\dots\) est divergente, on ne peut rien faire avec.

C'est vrai, puisque quelle que soit la valeur de \(N\), la convergence de la série \(\sum_{n\geqslant N}x_n\) dépend uniquement du comportement de la suite \(\widetilde{s}_k=x_N+x_{N+1}+\dots+x_{N+k}\) dans la limite \(k\to\infty\).

On dit que la propriété de ''converger/diverger'', pour une série \(\sum_na_n\), est une propriété asymptotique: déterminer si elle est vraie ou fausse ne dépend pas d'un nombre fini de la suite \(a_n\). En d'autres termes, la réponse à la question ''La série \(\sum_na_n\) est-elle convergente?'' peut être donnée en ignorant un nombre fini quelconque de termes \(a_n\).

C'est vrai. En effet, puisque \(\sum_nx_n\) ne converge pas absolument, cela signifie que \(\sum_n|x_n|\) n'est pas convergente, qui (puisque \(|x_n|\geqslant 0\)) implique forcément \(\sum_n|x_n|=+\infty\), c'est-à-dire \(\lim_{n\to\infty}\widetilde{s}_n=+\infty\), où \(\widetilde{s}_n=|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|\).

On remarque que ces deux séries ont des termes généraux qui sont, respectivement, les termes pairs et impairs de la série harmonique. La première est \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k}\,, \] et diverge puisque son terme général \(a_k=\frac{1}{2k}\) est, à une constante multiplicative près, le même que celui de la série harmonique \(\sum_k\frac1k\), qui diverge.

La deuxième est \[ \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\,. \] La présence du \(k\) au dénominateur dans le terme général \(a_k=\frac{1}{2k+1}\) suggère de poser \(b_k=\frac{1}{k}\). On a alors \(a_k\gt 0\) et \(b_k\gt 0\) pour tout \(k\), et \[ \alpha =\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k} =\lim_{k\to\infty}\frac{k}{2k+1}=\frac12\gt 0\,, \] et puisque \(\sum_kb_k\) diverge, \(\sum_ka_k\) diverge aussi, par le critère de la limite du quotient.

1. Remarquons que la série est de la forme \(\sum_n 1/n^p\), où \[ p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\gt \frac{1+\sqrt{4}}{2}=\frac{3}{2}\gt 1\,, \] donc la série converge.
2. On peut borner le terme général comme suit: \[ 0\leqslant \frac{3}{n^4+1}\leqslant \frac{3}{n^4}\qquad\forall n\,. \] Puisque \(\sum_n\frac{1}{n^4}\) converge (\(p=4\gt 1\)), \(\sum_n\frac{3}{n^4}\) converge aussi, donc le critère de comparaison implique que \(\sum_n\frac{3}{n^4+1}\) converge.
3. Comme \[ 2^{-\log_2(n)}= \frac{1}{2^{\log_2(n)}}=\frac1n\,, \] cette série est la série harmonique, donc elle diverge.
4. On peut remarquer que la somme partielle a une structure téléscopique: \[\begin{aligned} s_n & =\sum_{k=1}^n \log\left(\frac{k}{k+1}\right)\\ & =\sum_{k=1}^n \left(\log(k)-\log(k+1)\right)\\ &=-\log(n+1)\,. \end{aligned}\] Donc \(s_n\to -\infty\), et la série diverge.
5. Avec \(a_n=\frac{2^nn!}{n^n}\gt 0\), on calcule \[\begin{aligned} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &=\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{2^nn!}\\ &=\frac{2}{(1+\frac{1}{n})^n}\to \frac{2}{e}\lt 1\,. \end{aligned}\] Par le critère de d'Alembert, la série \(\sum_na_n\) converge.
6. Posons \(a_n=\frac{1}{\log(n^{13})}=\frac{1}{13\log(n)}\). On sait que \[ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n}=0\,, \] Ceci implique en particulier qu'il existe un \(N\in\mathbb{N}\) tel que \[ 0\leqslant \frac{\log(n)}{n}\leqslant 1\qquad \forall n\geqslant N\,, \] qui permet d'écrire \[ a_n\geqslant \frac{1}{13 n}=:b_n\geqslant 0\qquad \forall n\geqslant N\,. \] Comme \(\sum_n\frac{1}{13 n}\) diverge, \(\sum_na_n\) diverge aussi.

   Remarque: Si on veut on peut travailler directement dans la limite, en posant \(b_n=\frac{1}{n}\), on a bien \(a_n,b_n\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, on sait que \(\sum_nb_n\) diverge et que \[ \alpha = \lim_{n\to+\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{13 \log(n)} =+\infty\,, \] donc le critère de la limite du quotient implique que \(\sum_na_n\) diverge aussi.

Considérons la \(n\)ème somme partielle, \[ s_n=1+2c+3c^2+\cdots+ nc^{n-1}\,. \] On remarque que \[\begin{aligned} s_n-cs_n &= (1+2c+3c^2+\cdots+ nc^{n-1}) - (c+2c^2+3c^3+\cdots+ nc^{n}) \\ &=(1+c+c^2+c^3+\cdots+c^{n-1})-nc^n\\ &=\frac{1-c^{n}}{1-c}-nc^n\,, \end{aligned}\] qui donne \[ s_n =\frac{1}{1-c}\left( \frac{1-c^{n}}{1-c}-nc^n \right) \] Puisque \(0\lt c\lt 1\), on a que \(c^{n}\to 0\) et \(nc^n\to 0\) (?). On a donc montré que la série converge et que sa valeur est \[ 1+2c+3c^2+4c^3+\cdots =\frac{1}{(1-c)^2} \]

Considérons un indice \(n\) pair, et réarrangeons les termes de la \(n\)ème somme partielle comme suit: \[\begin{aligned} s_n=s_{2k} &= -\frac11+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4^2}- \frac{1}{5}+\frac{1}{6^2}\cdots+\frac{1}{(2k)^2}\\ &=-I_k+P_k\,, \end{aligned}\] où \[\begin{aligned} I_k&=-\frac11-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{2k-1}\,,\\ P_k&=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\dots+\frac{1}{(2k)^2}\,. \end{aligned}\] On sait que \(P_k\) est croissante et majorée par \(\sum_{j\geqslant 1}\frac{1}{j^2}=\frac{\pi^2}{6}\), donc elle converge, et on sait (voir un exercice précédent) que \(I_k\to-\infty\). Donc la série \(\sum_nx_n\) diverge, et \(\sum_nx_n=-\infty\).

Supposons que \(\sum_na_n\) converge mais que \(\sum_n|a_n|=+\infty\). Pour montrer que la suite \((a_n)\) contient une infinité de termes strictement positifs, procédons par l'absurde, en supposant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'indices \(n\) tels que \(a_n\gt 0\). Il existe donc un \(N\in\mathbb{N}\) tel que \[ a_n\leqslant 0\qquad\forall n\geqslant N\,, \] et donc en particulier \[ |a_n|=-a_n \qquad\forall n\geqslant N\,. \] Ceci implique, d'après notre hypothèse, que \(\sum_{n\geqslant N}a_n\) converge mais que \(\sum_{n\geqslant N}|a_n|=-\sum_{n\geqslant N}a_n=+\infty\), une contradiction.

On montre de même que \((a_n)\) contient une infinité de termes strictement négatifs.

Remarquons que \[\begin{aligned} 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdots (2k+1) &=\frac{ 1\cdot2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdots (2k)\cdot(2k+1)}{ 2\cdot 4\cdot 6\cdots \cdot(2k) }\\ &=\frac{(2k+1)!}{2^kk!}\,, \end{aligned}\] donc la série qu'on est en train d'étudier a pour terme général \[ a_k=\frac{2^k(k!)^2}{(2k+1)!} \] Puisque \[ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| =\frac{2(k+1)^2}{(2k+3)(2k+2)}\to \frac12\lt 1\,, \] elle converge.