5.4 Le critère de Leibniz

Certaines séries, très particulières, ont un terme général dont le signe est opposé au signe du terme précédent; on les appelle alternées. Sous certaines conditions additionnelles, on peut garantir que ces séries convergent:

Théorème: (Critère de Leibniz pour les séries alternées) Soit \(a_n=(-1)^nx_n\), où

  1. \(x_n\geqslant 0\),
  2. \(x_n\) est décroissante, et
  3. \(x_n\to 0\).
Alors \(\sum_{n\geqslant 0}a_n=x_0-x_1+x_2-x_3+x_4-\cdots\) converge.

Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) une suite décroissante et soit \(s_n\) la suite des sommes partielles associée à la série \(\sum_{n\geqslant 0}(-1)^nx_n\): \[\begin{aligned} s_0&=x_0\\ s_1&=x_0-x_1\\ s_2&=x_0-x_1+x_2\\ s_3&=x_0-x_1+x_2-x_3\\ &\dots \end{aligned}\] Remarquons (voir l'image ci-dessus) que \[ s_1\leqslant s_3\leqslant s_5\leqslant \cdots s_6\leqslant s_4\leqslant s_2 \leqslant s_0\] Considérons donc les sous-suites \(s_{2k}\) et \(s_{2k+1}\). Puisque \((s_{2k})\) est décroissante et minorée par \(s_1\), \[ s_{\text{pairs}}=\lim_{k\to\infty}s_{2k}\quad \text{existe.} \] Puisque \((s_{2k+1})\) est croissante et majorée par \(s_2\), elle converge: \[ s_{\text{impairs}}=\lim_{k\to\infty}s_{2k+1}\quad \text{existe.} \] Mais comme \(|s_{2k+1}-s_{2k}|=|x_{2k+1}|\to 0\), on a \(s_{\text{pairs}}=s_{\text{impairs}}\).

Exemple: La série harmonique alternée est définie par \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n} =1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots \] Elle s'obtient simplement en changeant le signe de tous les indices pairs de la série harmonique. Comme on peut écrire cette série sous la forme \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=-\sum_{n\geqslant 1}(-1)^nx_n\,, \] où \(x_n=\frac1n\) est positif, décroissant, et tend vers zéro, on conclut par le théorème qu'elle converge. (On verra plus tard que sa somme vaut \(\log(2)\)).

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1} \] Puisque \(\sin(n\frac{\pi}{2})=0\) dès que \(n\) est pair, cette série est en fait \[ \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1} = \sum_{k\geqslant 0} \frac{\sin((2k+1)\frac{\pi}{2})}{2k+2} \] Mais maintenant, \(\sin((2k+1)\frac{\pi}{2})=(-1)^{k}\), et donc \[ \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1} = \sum_{k\geqslant 0} \frac{(-1)^k}{2k+2} \] Puisque \(x_k:= \frac{1}{2k+2}\to 0\), cette série converge.

Quiz 5.4-1 : Parmi les séries ci-dessous, lesquelles ont une structure de série alternée? (Plus précisément: quelles sont celles qui peuvent être transformées en une série qui satisfait aux hypothèses du critère de Leibniz, et donc qui garantissent la convergence de la série?)
  1. () \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 4} \frac{(-1)^{n+3}}{n+3}\)
  2. () \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{\cos(n\pi)}{n+1}\)
  3. () \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{2n+1}}\)
  4. () \(\displaystyle \sum_{\substack{n\geqslant 1\\n\text{ pair}}} \frac{(-1)^n}{\log(n+1)}\)
  5. () \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{(-1)^n(n+1)}{3n}\)
  6. () \(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}(-1)^n\frac{\sin(n)}{n}\)
Quiz 5.4-2 : Vrai ou faux
  1. () Si \(\sum_na_n\) diverge, alors \(\sum_n(-1)^na_n\) diverge aussi.
  2. () Si \(\sum_na_n\) diverge, alors \(\sum_n(-1)^na_n\) converge.
  3. () Si \(\sum_na_n\) converge, alors \(\sum_n(-1)^na_n\) converge aussi.
  4. () Si \(\sum_na_n\) diverge, et si \(x_n\in \{0,+1\}\) pour tout \(n\), alors \(\sum_n x_na_n\) converge.
  5. () Si \(|a_n|>\frac{1}{n}\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(\sum_na_n\) diverge.
Quiz 5.4-3 : Vrai ou faux?
  1. () Si \(a_n\to 0\), si \(a_n>0\) pour une infinité d'indices \(n\) et \(a_n<0\) pour une infinité d'indices \(n\), alors \(\sum_na_n\) converge.
  2. () Si \(x_n\to 0\), alors \(\sum_n(-1)^nx_n\) converge.
  3. () Si \(x_n\geqslant 0\) et \(x_n\to 0\), alors \(\sum_n(-1)^nx_n\) converge.




---- (Dernière modification: 2022-10-31 (07:27:51)) ----