Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.4 Le critère de Leibniz

Certaines séries, très particulières, ont un terme général dont le signe est opposé au signe du terme précédent; on les appelle alternées. Sous certaines conditions additionnelles, on peut garantir que ces séries convergent:

Théorème: (Critère de Leibniz pour les séries alternées) Soit \(a_n=(-1)^nx_n\), où

\(x_n\geqslant 0\),
\(x_n\) est décroissante, et
\(x_n\to 0\).

Alors \(\sum_{n\geqslant 0}a_n=x_0-x_1+x_2-x_3+x_4-\cdots\) converge.

Preuve:

Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) une suite décroissante et soit \(s_n\) la suite des sommes partielles associée à la série \(\sum_{n\geqslant 0}(-1)^nx_n\): \[\begin{aligned} s_0&=x_0\\ s_1&=x_0-x_1\\ s_2&=x_0-x_1+x_2\\ s_3&=x_0-x_1+x_2-x_3\\ &\dots \end{aligned}\] Remarquons (voir l'image ci-dessus) que \[ s_1\leqslant s_3\leqslant s_5\leqslant \cdots s_6\leqslant s_4\leqslant s_2 \leqslant s_0\] Considérons donc les sous-suites \(s_{2k}\) et \(s_{2k+1}\). Puisque \((s_{2k})\) est décroissante et minorée par \(s_1\), \[ s_{\text{pairs}}=\lim_{k\to\infty}s_{2k}\quad \text{existe.} \] Puisque \((s_{2k+1})\) est croissante et majorée par \(s_2\), elle converge: \[ s_{\text{impairs}}=\lim_{k\to\infty}s_{2k+1}\quad \text{existe.} \] Mais comme \(|s_{2k+1}-s_{2k}|=|x_{2k+1}|\to 0\), on a \(s_{\text{pairs}}=s_{\text{impairs}}\).

Exemple: La série harmonique alternée est définie par \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n} =1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots \] Elle s'obtient simplement en changeant le signe de tous les indices pairs de la série harmonique. Comme on peut écrire cette série sous la forme \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=-\sum_{n\geqslant 1}(-1)^nx_n\,, \] où \(x_n=\frac1n\) est positif, décroissant, et tend vers zéro, on conclut par le théorème qu'elle converge. (On verra plus tard que sa somme vaut \(\log(2)\)).

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1} \] Puisque \(\sin(n\frac{\pi}{2})=0\) dès que \(n\) est pair, cette série est en fait \[ \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1} = \sum_{k\geqslant 0} \frac{\sin((2k+1)\frac{\pi}{2})}{2k+2} \] Mais maintenant, \(\sin((2k+1)\frac{\pi}{2})=(-1)^{k}\), et donc \[ \sum_{n\geqslant 0} \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n+1} = \sum_{k\geqslant 0} \frac{(-1)^k}{2k+2} \] Puisque \(x_k:= \frac{1}{2k+2}\to 0\), cette série converge.

Quiz 5.4-1 : Parmi les séries ci-dessous, lesquelles ont une structure de série alternée? (Plus précisément: quelles sont celles qui peuvent être transformées en une série qui satisfait aux hypothèses du critère de Leibniz, et donc qui garantissent la convergence de la série?)

\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 4} \frac{(-1)^{n+3}}{n+3}\)
\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{\cos(n\pi)}{n+1}\)
\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^{2n}}{\sqrt{2n+1}}\)
\(\displaystyle \sum_{\substack{n\geqslant 1\\n\text{ pair}}} \frac{(-1)^n}{\log(n+1)}\)
\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{(-1)^n(n+1)}{3n}\)
\(\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}(-1)^n\frac{\sin(n)}{n}\)

Quiz 5.4-2 : Vrai ou faux

Si \(\sum_na_n\) diverge, alors \(\sum_n(-1)^na_n\) diverge aussi.
Si \(\sum_na_n\) diverge, alors \(\sum_n(-1)^na_n\) converge.
Si \(\sum_na_n\) converge, alors \(\sum_n(-1)^na_n\) converge aussi.
Si \(\sum_na_n\) diverge, et si \(x_n\in \{0,+1\}\) pour tout \(n\), alors \(\sum_n x_na_n\) converge.
Si \(|a_n|>\frac{1}{n}\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(\sum_na_n\) diverge.

Quiz 5.4-3 : Vrai ou faux?

Si \(a_n\to 0\), si \(a_n>0\) pour une infinité d'indices \(n\) et \(a_n<0\) pour une infinité d'indices \(n\), alors \(\sum_na_n\) converge.
Si \(x_n\to 0\), alors \(\sum_n(-1)^nx_n\) converge.
Si \(x_n\geqslant 0\) et \(x_n\to 0\), alors \(\sum_n(-1)^nx_n\) converge.