Ce dernier exemple montre qu'une série peut être convergente sans être absolument convergente, ce qui semble indiquer que les séries absolument convergentes forment un sous-ensemble de l'ensemble des séries convergentes:
Exemple: La série \[\sum_{n\geqslant 1}\frac{(-1)^n}{n^2}\] est convergente (car c'est une série alternée satisfaisant au critère de Leibniz), mais elle est aussi absolument convergente, car \[\sum_{n\geqslant 1}|\frac{(-1)^n}{n^2}|=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2}\,,\] qui est convergente (\(p=2\gt 1\)). Donc l'alternance de signes, dans la série de départ, n'est pas essentielle pour garantir sa convergence.
Exemple: La série harmonique alternée est convergente, comme on sait, mais elle n'est pas absolument convergente, car en prenant la valeur absolue de chacun de ses termes on obtient \[\sum_{n\geqslant 1}\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| =\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n}\,,\] la série harmonique, qui est divergente. Donc la série harmonique alternée a ''besoin'' de l'alternance de ses signes pour pouvoir converger.
Ce dernier exemple montre qu'une série peut être convergente sans être absolument convergente, ce qui semble indiquer que les séries absolument convergentes forment un sous-ensemble de l'ensemble des séries convergentes:
En effet, pour les séries, la notion de convergence absolue est plus forte que celle de convergence:
Théorème: Si \(\displaystyle\sum_na_n\) converge absolument, alors elle converge.
Définissons \[\begin{aligned} s_n&:= a_1+\dots+a_n\\ \overline{s}_n&:=|a_1|+\dots+|a_n|\,. \end{aligned}\] Comme \(\sum_na_n\) est absolument convergente, la suite \(\overline{s}_n\) converge, ce qui implique que c'est aussi une suite de Cauchy. Or pour tout \(n\geqslant m\), par l'inégalité triangulaire, \[\begin{aligned} |s_n-s_m|&=\bigl|a_{m+1}+\dots+a_n\bigr|\\ &\leqslant |a_{m+1}|+\cdots +|a_n|\\ &=\overline{s}_n-\overline{s}_m\\ &=|\overline{s}_n-\overline{s}_m|\,. \end{aligned}\] Fixons \(\varepsilon\gt 0\). Comme \((\overline{s}_n)\) est une suite de Cauchy, il existe \(N\) tel que \(|\overline{s}_n-\overline{s}_m|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(n,m\geqslant N\). Par l'inégalité ci-dessus, ceci implique que \(|s_n-s_m|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(m,n\geqslant N\). On a donc montré que \((s_n)\) est une suite de Cauchy, et donc elle converge: \(\sum_na_n\) est convergente.
Ce résultat peut parfois être utile pour l'étude d'une série:
Exemple: Étudions la convergence de la série \[\sum_{n\geqslant 0} \frac{3\sin(n)-5\cos(n^2)}{2^n+\sqrt{n}}\,. \] Le numérateur contient des parties oscillantes qui compliquent l'étude de la convergence. Pourtant, \[ |3\sin(n)-5\cos(n^2)|\leqslant 3+5=8\,, \] et donc \[ 0\leqslant |a_n|= \Bigl|\frac{3\sin(n)-5\cos(n^2)}{2^n+\sqrt{n}} \Bigr| \leqslant \frac{8}{2^n}=:b_n\,. \] Comme \(\sum_nb_n=8\sum_n\frac{1}{2^n}\) converge (géométrique de raison \(r=\frac12\)), le critère de comparaison implique que \(\sum_n|a_n|\) converge. Donc \(\sum_na_n\) converge absolument, et par le théorème ci-dessus, ceci implique que \(\sum_na_n\) converge.
Dans les deux prochaines sections, nous verrons deux critères très utiles qui garantissent la convergence absolue (et donc la convergence) d'une série.
Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)
Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution: Pas d'Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 (CC BY-NC-SA 4.0)
