Considérons une série \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) dans laquelle le terme général
\(a_n\) est une différence,
\[ a_n=x_n-x_{n-1}\qquad \forall n\geqslant 1\,.
\]
où \((x_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite fixée.
On appelle les séries de ce type des séries téléscopiques.
En effet, on
remarque que la \(n\)-ème somme partielle associée à \(\sum_{n\geqslant
1}a_n\) peut se calculer exactement, puisque
en réarrangeant les termes, beaucoup de paires se téléscopent:
\[\begin{aligned}
s_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n\\
&=(x_1-x_0)+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\cdots+(x_n-x_{n-1})\\
&=-x_0+(x_1-x_1)+(x_2-x_2)+\cdots+(x_{n-1}-x_{n-1})+x_n\\
&=x_n-x_0\,.
\end{aligned}\]
On conclut de là que si la suite \(x_n\) possède une limite, \(x_n\to L\), alors
la série \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge, et de plus sa somme vaut
\[ \lim_{n\to \infty} s_n=\lim_{n\to \infty}(x_n-x_0)=L-x_0\,.\]
Exemple: La série téléscopique \[ \sum_{n\geqslant 2}\bigl(\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n}})-\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n-1}})\bigr) \] converge puisque \(d_n=\cos(\frac{1}{\sqrt{n}})\to 1\), et sa somme vaut \[ \sum_{n\geqslant 2}\bigl(\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n}})-\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n-1}})\bigr) =1-\cos(1)\,. \]
Exemple: La série \[\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{n(n+1)}\,\] converge puisque \[0\leqslant a_n \leqslant \frac{1}{n^2}\,.\] Or si on regarde de plus près, on peut la voir comme une série téléscopique, puisque \[ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\,. \] (On verra plus tard comment faire ce genre de décomposition de façon plus systématique, appelée décomposition en éléments simples.) La \(n\)-ème somme partielle s'écrit donc \[\begin{aligned} s_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n\\ &=\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\,, \end{aligned}\] où on a pu ''téléscoper'' les termes 2 à 2. On a donc que \[ s=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{n\to \infty} s_n=1\,. \]
Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)
Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution: Pas d'Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 (CC BY-NC-SA 4.0)
