Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.5 Séries téléscopiques

Considérons une série \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) dans laquelle le terme général \(a_n\) est une différence, \[ a_n=x_n-x_{n-1}\qquad \forall n\geqslant 1\,. \] où \((x_n)_{n\geqslant 0}\) est une suite fixée. On appelle les séries de ce type des séries téléscopiques.

En effet, on remarque que la \(n\)-ème somme partielle associée à \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) peut se calculer exactement, puisque en réarrangeant les termes, beaucoup de paires se téléscopent:

\[\begin{aligned} s_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}+a_n\\ &=(x_1-x_0)+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+\cdots+(x_n-x_{n-1})\\ &=-x_0+(x_1-x_1)+(x_2-x_2)+\cdots+(x_{n-1}-x_{n-1})+x_n\\ &=x_n-x_0\,. \end{aligned}\]

On conclut de là que si la suite \(x_n\) possède une limite, \(x_n\to L\), alors la série \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge, et de plus sa somme vaut \[ \lim_{n\to \infty} s_n=\lim_{n\to \infty}(x_n-x_0)=L-x_0\,.\]

Exemple: La série téléscopique \[ \sum_{n\geqslant 2}\bigl(\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n}})-\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n-1}})\bigr) \] converge puisque \(d_n=\cos(\frac{1}{\sqrt{n}})\to 1\), et sa somme vaut \[ \sum_{n\geqslant 2}\bigl(\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n}})-\cos(\tfrac{1}{\sqrt{n-1}})\bigr) =1-\cos(1)\,. \]

Exemple: La série \[\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{n(n+1)}\,\] converge puisque \[0\leqslant a_n \leqslant \frac{1}{n^2}\,.\] Or si on regarde de plus près, on peut la voir comme une série téléscopique, puisque \[ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\,. \] (On verra plus tard comment faire ce genre de décomposition de façon plus systématique, appelée décomposition en éléments simples.) La \(n\)-ème somme partielle s'écrit donc \[\begin{aligned} s_n&=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{n-1}+a_n\\ &=\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\,, \end{aligned}\] où on a pu ''téléscoper'' les termes 2 à 2. On a donc que \[ s=\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{n\to \infty} s_n=1\,. \]

Quiz 5.5-1 : Soit \((x_n)_{n\geqslant 0}\) une suite convergente, et \(a_n=x_n-x_{n-1}\) (\(n\geqslant 1\)). Quelles affirmations sont toujours vraies?

\(a_n\) converge et sa limite vaut \(L=\lim_{n\to\infty}x_n\)
\(a_n\) converge et sa limite vaut \(0\)
Si \(\lim_{n\to\infty}x_n\neq 0\), alors \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) diverge.
\(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge et sa somme vaut \(s=\lim_{n\to\infty}x_n\)
\(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge et sa somme vaut \(s=\{\lim_{n\to\infty}x_n\}-x_0\)