Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

3.10 Critère de d'Alembert pour les suites

Théorème: (Critère de d'Alembert pour les suites)
Soit \((a_n)\) une suite telle que la limite suivante existe: \[ \rho:= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\,. \]

Si \(0\leqslant \rho \lt 1\), alors \((a_n)\) converge et \(a_n\to 0\).
Si \(\rho\gt 1\), alors \((a_n)\) diverge, et si en plus \(a_n\geqslant 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(a_n\to +\infty\).

Supposons pour commencer que \(0\leqslant \rho \lt 1\). On peut donc choisir un \(\delta\gt 0\) tel que \(\rho\lt 1-\delta\),

et trouver un entier \(N\) tel que \[ \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\leqslant 1-\delta\qquad \forall n\geqslant N\,, \] c'est-à-dire \[ |a_{n+1}|\leqslant (1-\delta)|a_n|\qquad \forall n\geqslant N\,. \] En utilisant cette inégalité pour \(N\), \[ |a_{N+1}|\leqslant (1-\delta)|a_N|\,,\] en l'utilisant pour \(N+1\), \[ |a_{N+2}|\leqslant (1-\delta)|a_{N+1}|\leqslant (1-\delta)^2|a_N|\,, \] et ainsi de suite, en l'utilisant pour \(N+k\), \[ |a_{N+k}|\leqslant (1-\delta)|a_{N+(k-1)}|\leqslant\cdots\leqslant (1-\delta)^k|a_N|\,, \] ce qui implique, puisque \((1-\delta)^k\to 0\) lorsque \(k\to \infty\), que \[ \lim_{n\to\infty}|a_n|=\lim_{k\to\infty}|a_{N+k}|=0\,.\] Ceci implique \(a_n\to 0\).

Supposons maintenant que \(\rho\gt 1\), et fixons un \(\delta\gt 0\) tel que \(\rho\gt 1+\delta\). On a alors l'existence d'un entier \(N\) tel que \[ \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\geqslant 1+\delta\qquad \forall n\geqslant N\,. \] En utilisant cette inégalité pour \(N\), \[ |a_{N+1}|\geqslant (1+\delta)|a_N|\,,\] en l'utilisant pour \(N+1\), \[ |a_{N+2}|\geqslant (1+\delta)|a_{N+1}|\geqslant (1+\delta)^2|a_N|\,, \] et ainsi de suite, en l'utilisant pour \(N+k\), \[ |a_{N+k}|\geqslant (1+\delta)|a_{N+(k-1)}|\geqslant\cdots\geqslant (1+\delta)^k|a_N|\,, \] ce qui implique, puisque \((1+\delta)^k\to +\infty\) lorsque \(k\to\infty\), que \[ \lim_{n\to\infty}|a_n|=\lim_{k\to\infty}|a_{N+k}|=+\infty\,. \] Ainsi, \((a_n)\) n'a pas de limite, et si \(a_n\geqslant 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \[ \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}|a_n|=+\infty\,. \]

Ce critère est utile, mais surtout pour déduire le comportement des suites telles que \(|a_n|\) tend soit très vite vers l'infini, soit très vite vers zéro. Car si une suite \(a_n\) tend vers une limite \(L\) qui est différente de zéro, \(L\neq 0\), alors \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\to 1\), un cas qui n'est pas traité par le critère. (Voir exemples plus bas.)

Exemple: Considérons la suite \[a_n=\frac{n^2}{2^n}\,.\] On a montré précédemment que cette suite tendait vers zéro, en montrant que le comportement exponentiel l'emporte sur le polynomial. Voyons comment le critère de d'Alembert permet d'obtenir le même résultat. Calculons \[\begin{aligned} \rho =\lim_{n\to \infty} \Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| &=\lim_{n\to \infty} \Bigl|\frac{(n+1)^2/2^{n+1}}{n^2/2^n}\Bigr|\\ &=\frac12\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac12<1\,. \end{aligned}\] Par le critère, ceci implique que \(a_n\to 0\).

Le critère est souvent utile dans l'étude du comportement de quotients présentant une indétermination du type ''\(\frac{\infty}{\infty}\)'', et où on ne voit pas clairement comment extraire un terme dominant.

Exemple: Considérons \[ x_n=\frac{n!}{n^n}\,, \] également considérée précédemment. Écrivons le quotient \[ \frac{x_{n+1}}{x_n}= \frac{(n+1)!}{n!}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} =\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\,. \] Ainsi, \[ \rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right| =\frac{1}{\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n} =\frac{1}{e}=\frac{1}{2.718\dots}\lt 1\,. \] On conclut que \(x_n\to 0\).

Il est important de souligner que le critère de d'Alembert ne dit rien dans le cas où \(\rho=1\). Or beaucoup de suites très simples, dont le comportement est bien connu, sont des suites pour lesquelles \(\rho=1\). Voyons trois exemples.

Exemple: Pour la suite \(a_n=\frac1n\), on a \[\rho =\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\,, \] donc le critère ne permet pas de conclure. (Pourtant, on sait bien que \(a_n\to 0\)!)

Exemple: Pour la suite \(a_n=n\), on a aussi \(\rho=1\), donc le critère ne permet pas de conclure. (Pourtant, on sait bien que \(a_n\to \infty\)!)

Exemple: Pour la suite \(a_n=(-1)^n\), on a aussi \(\rho =1\), donc le critère ne permet pas de conclure. (Pourtant, on sait bien que \(a_n\) n'a pas de limite!)

Quiz 3.10-1 : Vrai ou faux?

Si une suite \((a_n)\) est convergente, alors \(\lim_n|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\lt 1\).
Si une suite \((a_n)\) est divergente, alors \(\lim_n|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\) n'a pas de limite.
Si \(\lim_n|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\lt 1\), alors \(a_n\) tend vers zéro exponentiellement vite.
Si \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\lt 1\) pour tout \(n\), alors \(a_n\to 0\).
Si \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\) n'a pas de limite lorsque \(n\to\infty\), alors \(a_n\) ne peut pas converger.
Si \(a_n\to 0\), alors \(\lim_n|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\lt 1\).