La preuve commence de la même façon que celle pour le
critère de l'Alembert pour les suites:
1) Si \(\rho<1\), on sait qu'il existe \(\varepsilon>0\) et un entier \(N\) tel que
\[\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\leqslant
1-\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
On a donc, pour tout \(n> N\),
\[\begin{aligned}
|a_{n}|&\leqslant (1-\varepsilon)|a_{n-1}|\\
&\leqslant (1-\varepsilon)^2|a_{n-2}|\\
&\leqslant \dots\\
&\leqslant (1-\varepsilon)^{n-N}|a_N|=:c_n\,.
\end{aligned}\]
Mais comme \(c_n\) est, à une constante près,
le terme général d'une série géométrique
(de raison \(r=1-\varepsilon\lt 1\)), la série
\(\sum_{n=N+1}^\infty c_n\) converge. Par le critère de comparaison,
\(\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\) converge aussi, et donc \(\sum_na_n\) converge
absolument.
2) On a déjà vu (Critère de d'Alembert pour les suites) que \(\rho>1\) implique
que \(|a_n|\to \infty\), et donc \(a_n\) ne tend pas vers zéro, ce qui
implique que \(\sum_na_n\) diverge.
Exemple: Considérons \[\sum_{k\geqslant 1}\frac{(-9)^k}{k!}\,.\] Si une comparaison avec une série plus simple n'est pas immédiatement facile, on peut calculer \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{\frac{(-9)^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{(-9)^k}{k!}}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \frac{9}{k+1}=0\,. \] Par le théorème, la série est absolument convergente, et donc convergente.
Le cas où \(\rho=1\) n'est pas résolu par le théorème, parce qu'il ne permet pas de conclure, et une autre méthode doit être utilisée.
Exemple: Pour le terme général \(a_n=C\gt 0\), on a \(\rho =1\), donc le critère ne dit rien. Pourtant, on sait que \(\sum_n a_n\) diverge.
Exemple: Pour le terme général \(a_n=\frac1n\), on a \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \frac{1/(k+1)}{1/k} =\lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+1}=1\,, \] donc le critère ne dit rien. Pourtant, on sait que \(\sum_n\frac1n\) diverge.
Exemple: Pour le terme général \(a_n=\frac1{n^2}\), on a \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \frac{1/(k+1)^2}{1/k^2} =\lim_{k\to\infty} \frac{k^2}{(k+1)^2}=1\,, \] donc le critère ne dit rien. Pourtant, on sait que \(\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge.
Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1} \frac{(n!)^3}{(2n)!} \] On a \[\begin{aligned} \rho &=\lim_{k\to\infty}\frac{((k+1)!^3)/(2(k+1))!}{(k!)^3/(2k)!}\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)!^3}{k!^3}\frac{(2k)!}{(2(k+1))!}\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^3}{1}\frac{1}{(2k+2)(2k+1)}=+\infty\,. \end{aligned}\] Donc la série est divergente.
Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)
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