Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.9 Le critère de d'Alembert

Séries: critère de d'Alembert (ou ''critère du quotient'')

Théorème: Soit \((a_n)\) une suite pour laquelle la limite \[ \rho:= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\, \] existe, ou est \(+\infty\).

Si \(\rho<1\), alors \(\sum_na_n\) converge absolument (donc converge).
Si \(\rho>1\), alors \(\sum_na_n\) diverge.

Preuve:

La preuve commence de la même façon que celle pour le critère de l'Alembert pour les suites:

1) Si \(\rho<1\), on sait qu'il existe \(\varepsilon>0\) et un entier \(N\) tel que \[\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\leqslant 1-\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,. \] On a donc, pour tout \(n> N\), \[\begin{aligned} |a_{n}|&\leqslant (1-\varepsilon)|a_{n-1}|\\ &\leqslant (1-\varepsilon)^2|a_{n-2}|\\ &\leqslant \dots\\ &\leqslant (1-\varepsilon)^{n-N}|a_N|=:c_n\,. \end{aligned}\] Mais comme \(c_n\) est, à une constante près, le terme général d'une série géométrique (de raison \(r=1-\varepsilon\lt 1\)), la série \(\sum_{n=N+1}^\infty c_n\) converge. Par le critère de comparaison, \(\sum_{n=N+1}^\infty|a_n|\) converge aussi, et donc \(\sum_na_n\) converge absolument.

2) On a déjà vu (Critère de d'Alembert pour les suites) que \(\rho>1\) implique que \(|a_n|\to \infty\), et donc \(a_n\) ne tend pas vers zéro, ce qui implique que \(\sum_na_n\) diverge.

Exemple: Considérons \[\sum_{k\geqslant 1}\frac{(-9)^k}{k!}\,.\] Si une comparaison avec une série plus simple n'est pas immédiatement facile, on peut calculer \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{\frac{(-9)^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{(-9)^k}{k!}}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \frac{9}{k+1}=0\,. \] Par le théorème, la série est absolument convergente, et donc convergente.

Le cas où \(\rho=1\) n'est pas résolu par le théorème, parce qu'il ne permet pas de conclure, et une autre méthode doit être utilisée.

Exemple: Pour le terme général \(a_n=C\gt 0\), on a \(\rho =1\), donc le critère ne dit rien. Pourtant, on sait que \(\sum_n a_n\) diverge.

Exemple: Pour le terme général \(a_n=\frac1n\), on a \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \frac{1/(k+1)}{1/k} =\lim_{k\to\infty} \frac{k}{k+1}=1\,, \] donc le critère ne dit rien. Pourtant, on sait que \(\sum_n\frac1n\) diverge.

Exemple: Pour le terme général \(a_n=\frac1{n^2}\), on a \[ \rho =\lim_{k\to\infty} \Bigl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\Bigr| =\lim_{k\to\infty} \frac{1/(k+1)^2}{1/k^2} =\lim_{k\to\infty} \frac{k^2}{(k+1)^2}=1\,, \] donc le critère ne dit rien. Pourtant, on sait que \(\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge.

Ces exemples montrent que le critère de d'Alembert est inefficace pour toutes les séries du type \(\sum_n\frac{1}{n^p}\).

Donc ce critère est efficace dans les situations où le terme général tend vers zéro au moins exponentiellement vite. L'avantage est qu'on peut l'appliquer sans savoir si le terme décroît exponentiellement vite.

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1} \frac{(n!)^3}{(2n)!} \] On a \[\begin{aligned} \rho &=\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{(k+1)!^3}{(2(k+1))!}}{\frac{(k!)^3}{(2k)!}}\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)!^3}{k!^3}\frac{(2k)!}{(2(k+1))!}\\ &=\lim_{k\to\infty}\frac{(k+1)^3}{(2k+2)(2k+1)}=+\infty\,. \end{aligned}\] Donc la série est divergente, et puisque tous ses termes sont positifs on peut écrire \[ \sum_{n\geqslant 1} \frac{(n!)^3}{(2n)!}=+\infty \]

Quiz 5.9-1 : Vrai ou faux?

Si \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1\) pour tout \(n\), alors \(\sum_{n}a_n\) converge absolument.
Si il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\leqslant 1-\varepsilon\) pour tout \(n\) suffisamment grand, alors \(\sum_{n}a_n\) converge absolument.
Si \(\sum_na_n\) converge absolument, alors \(|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
Si \(\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\) n'existe pas, alors \(\sum_na_n\) ne converge pas absolument.
Si \(\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1\), alors \(\sum_n|a_n|\) peut être comparée à une série géométrique de raison \(0\leqslant r<1\).