Intuitivement, il est clair que pour pouvoir sommer une infinité de nombres \(a_n\), il faut que ceux-ci deviennent toujours plus petits à mesure que \(n\) devient grand:
Lemme: Si \(\sum_na_n\) converge, alors \(a_n\to 0\).
Si la série converge, cela signifie que la suite des sommes partielles a une limite: \(s_n\to s\). On a donc \[\begin{aligned} a_n&=(\underbrace{a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n}_{=s_n}) -(\underbrace{a_1+a_2+\dots+a_{n-1}}_{=s_{n-1}})\\ &=s_n-s_{n-1}\,, \end{aligned}\] ceci implique que \(a_n\to s-s=0\).
Le lemme ci-dessus est surtout utile lorsqu'on veut montrer, à moindre coût, qu'une série diverge. En effet, si le terme général ne tend pas vers zéro, la série doit diverger.
Exemple: La série \[\sum_{n\geqslant 1}\frac{1+3^n}{2^n+3^n} \] diverge. En effet, la limite de son terme général \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}a_n= \lim_{n\to\infty}\frac{1+3^n}{2^n+3^n} &= \lim_{n\to\infty}\frac{3^n(1+3^{-n})}{3^n(1+(\frac23)^n)}\\ &= \lim_{n\to\infty}\frac{1+3^{-n}}{1+(\frac23)^n}=1\,, \end{aligned}\] qui est différent de zéro.
La deuxième propriété peut être formulée en disant que la convergence d'une série est un propriété qui ne dépend pas d'un nombre fini de termes. En effet, si une série converge (resp. diverge), alors on peut modifier un nombre arbitraire (mais fini) de termes, elle continuera à converger (resp. diverger).
Exemple: Par exemple, supposons que l'on ait deux séries, \(\sum_na_n\) et \(\sum_nb_n\). Soit alors \(\sum_nc_n\) la série de terme général \[ c_n:= \begin{cases} b_n&\text{ si }n\lt 10^{10^{10}}\,,\\ a_n&\text{ si }n\geqslant 10^{10^{10}}\,. \end{cases} \] Alors \(\sum_nc_n\) converge/diverge si et seulement si \(\sum_na_n\) converge/diverge.
Finalement, donnons deux propriétés simples utilisées constamment dans la manipulation des séries convergentes:
Pour des suites \((a_n)_{n\geqslant 0}\), \((b_n)_{n\geqslant 0}\), considérons les sommes partielles associées, notées respectivement \((s_n)_{n\geqslant 0}\) et \((s'_n)_{n\geqslant 0}\). On a donc, par hypothèse, existence des limites \[\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}s_n&=\sum_{k\geqslant 0}a_k\\ \lim_{n\to\infty}s'_n&=\sum_{k\geqslant 0}b_k\,. \end{aligned}\] Soit \((s_n'')_{n\geqslant 0}\) la suite des sommes partielles associées à la suite \((a_n+b_n)_{n\geqslant 0}\). On a, pour tout \(n\), \[ s_n''=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)=s_n+s'_n\,. \] Étant la somme de deux suites convergentes, \(s_n''\) est également convergente, et de plus sa somme est \[\begin{aligned} \sum_{k\geqslant 0}(a_k+b_k) &=\lim_{n\to\infty}s_n''\\ &=\lim_{n\to\infty}(s_n+s_n')=\\ &=\lim_{n\to\infty}s_n+\lim_{n\to\infty}s_n\\ &=\sum_{k\geqslant 0}a_k+\sum_{k\geqslant 0}b_k\,. \end{aligned}\] L'autre propriété se démontre de la même façon.
Exemple: Dans \[ \sum_{n\geqslant 0}\left( \frac{1}{2^n}+\frac{(-1)^n}{7^n} \right)\,, \] on reconnaît deux séries géométriques convergentes, \[ \sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{2^n} \qquad \text{ et }\qquad \sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n}{7^n}\,, \] On peut donc utiliser la proposition, pour calculer \[\begin{aligned} \sum_{n\geqslant 0}\left( \frac{1}{2^n}+\frac{(-1)^n}{7^n} \right) &=\sum_{n\geqslant 0}\frac{1}{2^n} +\sum_{n\geqslant 0}\frac{(-1)^n}{7^n}\\ &=\frac{1}{1-\frac12}+\frac{1}{1-\frac{-1}{7}}\\ &=\frac{23}{8} \end{aligned}\]
Dernière compilation: 2024-01-22 (20:49:37)
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