Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.10 Le critère de Cauchy

Théorème: Soit \((a_n)\) une suite réelle, telle que la limite \[ \sigma:= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \] est soit finie, soit \(+\infty\).

Si \(\sigma\lt 1\), alors \(\sum_na_n\) converge absolument (et donc converge).
Si \(\sigma\gt 1\), alors \(\sum_na_n\) diverge.

Preuve:

1) Supposons \(\sigma\lt 1\). Alors il existe \(0\lt \varepsilon \lt 1\) et un entier \(N\) tel que \[ \sqrt[n]{|a_n|}\leqslant 1-\varepsilon\qquad \forall n\geqslant N\,. \] On a donc que \[ |a_n|\leqslant (1-\varepsilon)^n\qquad \forall n\geqslant N\,, \] Par le critère de comparaison, comme la série associée \(b_n:= (1-\varepsilon)^n\) converge (géométrique de raison \(r=1-\varepsilon\)), celle associée à \(a_n\) converge aussi.

2) Semblable, mais dans ce cas on montre que \(|a_n|\to \infty\), et donc \(a_n\) ne tend pas vers zéro, et donc la série \(\sum_na_n\) diverge.

Exemple: La série \[\sum_{n\geqslant 1}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^2}\,. \] converge, puisque \[\begin{aligned} \sigma= \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|} &= \lim_{n\to \infty}\bigl(1-\tfrac1n\bigr)^n\\ &= \lim_{n\to \infty}\Bigl(\frac{n-1}{n}\Bigr)^n\\ &= \lim_{n\to \infty}\Bigl(\frac{n-1}{(n-1)+1}\Bigr)^n\\ &= \lim_{n\to \infty}\Bigl(\frac{1}{1+\frac{1}{n-1}}\Bigr)^n\\ &= \lim_{n\to \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n-1}}\\ &= \tfrac1e\cdot 1\lt 1\,. \end{aligned}\]

Remarque: Le critère de Cauchy existe en fait dans une forme un peu plus forte, dans laquelle la définition de \(\sigma\) est légèrement différente: \[ \sigma:= \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\,, \] mais où la conclusion est la même: si \(\sigma\lt 1\) alors la série converge absolument, et si \(\sigma\gt 1\) alors la série diverge.

L'avantage de cette deuxième version est que l'on peut étudier certaines séries pour lesquelles la limite qui définit \(\sigma\) dans la première définition n'existe pas, alors qu'elle possède une limite supérieure.

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 0}\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac14(-1)^n\bigr)^n\,. \] Remarquons qu'ici, \[ \sqrt[n]{|a_n|}=\tfrac{1}{2}+\tfrac14(-1)^n\,, \] qui n'a pas de limite lorsque \(n\to \infty\). Pourtant, \[ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{2}+\frac14=\frac34\lt 1\,, \] et donc par la nouvelle version du critère, la série converge.

Remarquons qu'on aurait aussi simplement pu écrire \[ |a_n|=\bigl|\tfrac12+\tfrac14(-1)^n\bigr|^n\leqslant (\tfrac12+\tfrac14)^n=(\tfrac34)^n\,. \] Ainsi, par comparaison avec la série géométrique de raison \(r=\frac34\), on conclut que \(\sum_na_n\) converge absolument.

Quiz 5.10-1 : Vrai ou faux?

Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{|a_{n}|}<1\), alors \(\sum_na_n\) converge absolument.
Si \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n]{|a_{2n}|}<1\), alors \(\sum_na_n\) converge absolument.
Si \(0\leqslant x_n<1\) pour tout \(n\), alors \(\sum_n{x_n}^n\) est convergente.
Si \(x_n\in [0,1]\) est telle que \(\sup\{x_0,x_1,x_2,\dots\}<1\), alors \(\sum_n{x_n}^n\) converge.