Théorème: Soit \((x_n)\) une suite. Si il existe deux suites \((a_n)\), \((b_n)\), telles que
Soit \(N_0\) un
entier tel que \(a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant N_0\).
Fixons \(\varepsilon\gt 0\).
Exemple: Considérons la suite \((x_n)_{n\geqslant 1}\), définie par \[x_n=\frac{2+\cos(19n^2+n^7)}{n}\,.\] La partie contenant \(\cos(\cdots)\) étant compliquée, on peut utiliser le fait qu'elle est bornée: \(-1\leqslant \cos(\cdots)\leqslant +1\), ce qui permet d'écrire \[ \underbrace{\frac{1}{n}}_{=a_n} = \frac{2-1}{n}\leqslant x_n\leqslant \frac{2+1}{n}=\underbrace{\frac{3}{n}}_{=b_n} \] Mais, puisque \[\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty} \frac1n=0\] et \[\lim_{n\to \infty} b_n=3\lim_{n\to \infty} \frac1n=0\,,\] le théorème des deux gendarmes implique que \(\lim_{n\to \infty} x_n=0\).
\(\bigstar\) Une bonne utilisation du théorème, pour montrer qu'une suite \((x_n)\) et que sa limite vaut \(L\), nécessite de trouver deux ''gendarmes'' \((a_n)\) et \((b_n)\) qui non seulement encadrent \((x_n)\), mais qui possèdent en plus la même limite! Dans des situations simples, comme dans l'exemple précédent, on obtient souvent des gendarmes efficaces en majorant/minorant certaines parties de \(x_n\) qui ne sont pas essentielles dans le comportement pour des indices \(n\) grands. Mais parfois, trouver des gendarmes qui ont la même limite peut s'avérer plus difficile!
Exemple: Considérons la suite \((x_n)_{n\geqslant 1}\), définie par \[ x_n=\frac{2^n}{n!}\,,\qquad n\geqslant 1\,. \] Comme le numérateur est un produit de \(n\) fois le même nombre ''\(2\)'', alors que le dénominateur est un produit de \(n\) nombres dont presque tous sont plus grands que \(2\), le dénominateur doit croître beaucoup plus vite que le numérateur. Ceci suggère que \(x_n\to 0\), ce que l'on va essayer de montrer à l'aide du théorème des deux gendarmes. Comme \(x_n\geqslant 0\), il suffit de trouver une suite \(b_n\) telle que
Or si on écrit explicitement, pour tout \(n\geqslant 3\) \[\begin{aligned} x_n&=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdots 2}{n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdots 1}\\ &= \frac{2}{n} \cdot \underbrace{\frac{2}{n-1}}_{\leqslant 1} \cdot \underbrace{\frac{2}{n-2}}_{\leqslant 1} \cdots \underbrace{\frac{2}{3}}_{\leqslant 1} \cdot \underbrace{\frac{2}{2}}_{=1} \cdot \frac{2}{1}\\ &\leqslant \frac{4}{n}=: b_n\,. \end{aligned}\] Puisque \(b_n\to 0\), ceci implique bien que \(x_n\to 0\).Voyons ensuite une conséquence utile et générale du théorème des deux gendarmes:
Comme \((x_n)\) est bornée, il existe \(C\gt 0\) telle que \(-C\leqslant x_n\leqslant C\) pour tout \(n\). On a donc \(0\leqslant |x_ny_n|=|x_n||y_n|\leqslant C|y_n|\), ce qui donne \[ -C|y_n|\leqslant x_ny_n\leqslant C |y_n|\,. \] Puisque \(y_n\to 0\), ceci implique \(\pm C|y_n|\to 0\). Par le Théorème des deux gendarmes, on conclut que \(|x_ny_n|\to 0\), ce qui implique \(x_n y_n\to 0\).