Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

3.4 Le Théorème des deux gendarmes

Le Théorème des deux gendarmes

Théorème: Soit \((x_n)\) une suite. Soient \((a_n)\), \((b_n)\) deux suites telles que

\(a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand,
\(\displaystyle\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty} b_n=L\).

Alors \((x_n)\) converge, et sa limite vaut \(L\): \[ \lim_{n\to \infty} x_n=L\,. \]

Soit \(N_0\) un entier tel que \(a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant N_0\).

Fixons \(\varepsilon\gt 0\).

Puisque \(a_n\to L\), il existe \(N_a\) tel que \(a_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N_a\).
Puisque \(b_n\to L\), il existe \(N_b\) tel que \(b_n\in [L-\varepsilon,L+\varepsilon]\) pour tout \(n\geqslant N_b\).

Définissons l'entier \[ N:= \max\{N_0,N_a,N_b\}\,.\] Si \(n\geqslant N\), alors on a en particulier que \(a_n\geqslant L-\varepsilon\) et \(b_n\leqslant L+\varepsilon\), ce qui implique \[ L-\varepsilon\leqslant a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\leqslant L+\varepsilon\,. \] De ces dernières inégalités, on tire que \(|x_n-L|\leqslant \varepsilon\).

On a donc bien montré que pour tout \(\varepsilon\gt 0\) il existe un entier \(N\) tel que \(|x_n-L|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\). Ceci signifie que \(x_n\to L\).

Exemple: Considérons la suite \((x_n)_{n\geqslant 1}\), définie par \[x_n=\frac{2+\cos(19n^2+n^7)}{n}\,.\] La partie contenant \(\cos(\cdots)\) étant compliquée, on peut utiliser le fait qu'elle est bornée: \(-1\leqslant \cos(\cdots)\leqslant +1\), ce qui permet d'écrire \[ \underbrace{\frac{1}{n}}_{=a_n} = \frac{2-1}{n}\leqslant x_n\leqslant \frac{2+1}{n}=\underbrace{\frac{3}{n}}_{=b_n} \] Mais, puisque \(\lim_{n\to \infty} a_n=\lim_{n\to \infty} \frac1n=0\) et \(\lim_{n\to \infty} b_n=3\lim_{n\to \infty} \frac1n=0\), le théorème des deux gendarmes garantit que \(\lim_{n\to \infty} x_n=0\).

Une bonne utilisation du théorème, pour montrer qu'une suite \((x_n)\) converge et trouver sa limite, nécessite de trouver deux ''gendarmes'' \((a_n)\) et \((b_n)\) qui non seulement encadrent \((x_n)\), mais qui possèdent en plus la même limite! Dans des situations simples, comme dans l'exemple précédent, on obtient souvent des gendarmes efficaces en majorant/minorant certaines parties de \(x_n\) qui ne sont pas essentielles dans le comportement pour des indices \(n\) grands. Mais parfois, trouver des gendarmes qui ont la même limite peut s'avérer plus difficile!

Exemple: Considérons la suite \((x_n)_{n\geqslant 1}\), définie par \[ x_n=\frac{2^n}{n!}\,,\qquad n\geqslant 1\,. \] Comme le numérateur est un produit de \(n\) fois le même nombre ''\(2\)'', alors que le dénominateur est un produit de \(n\) nombres dont presque tous sont plus grands que \(2\), le dénominateur doit croître beaucoup plus vite que le numérateur. Ceci suggère que \(x_n\to 0\), ce que l'on va essayer de montrer à l'aide du théorème des deux gendarmes. Comme \(x_n\geqslant 0\), il suffit de trouver une suite \(b_n\) telle que

\(0\leqslant x_n\leqslant b_n\), et
\(b_n\to 0\).

Or si on écrit explicitement, pour tout \(n\geqslant 3\) \[\begin{aligned} x_n&=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdots 2}{n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdots 1}\\ &= \frac{2}{n} \cdot \underbrace{\frac{2}{n-1}}_{\leqslant 1} \cdot \underbrace{\frac{2}{n-2}}_{\leqslant 1} \cdots \underbrace{\frac{2}{3}}_{\leqslant 1} \cdot \underbrace{\frac{2}{2}}_{=1} \cdot \frac{2}{1}\\ &\leqslant \frac{4}{n}=: b_n\,. \end{aligned}\] Puisque \(b_n\to 0\), ceci implique bien que \(x_n\to 0\).

Voyons ensuite une conséquence très utile du théorème des deux gendarmes:

Si \((x_n)\) est bornée et si \(y_n\to 0\), alors \(x_ny_n\to 0\).

Comme \((x_n)\) est bornée, il existe \(C\gt 0\) telle que \(-C\leqslant x_n\leqslant C\) pour tout \(n\). On a donc \(0\leqslant |x_ny_n|=|x_n||y_n|\leqslant C|y_n|\), ce qui donne \[ -C|y_n|\leqslant x_ny_n\leqslant C |y_n|\,. \] Puisque \(y_n\to 0\), ceci implique \(\pm C|y_n|\to 0\). Par le Théorème des deux gendarmes, on conclut que \(|x_ny_n|\to 0\), ce qui implique \(x_n y_n\to 0\).

Quiz 3.4-1 : Vrai ou faux?

Si \(a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(x_n\) ne converge pas, alors \(a_n\) et \(b_n\) ne convergent pas non plus.
Si \(a_n\lt x_n\lt b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(a_n\to L\) et \(b_n\to L\), alors \(x_n\to L\).
Si \(a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(|a_n-b_n|\to 0\), alors \(x_n\) converge.
Si il existe \(N_1\) tel que \(x_n\geqslant a_n\) pour tout \(n\geqslant N_1\) et s'il existe \(N_2\) tel que \(x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant N_2\), et si \(a_n\) et \(b_n\) convergent vers la même limite, alors \(x_n\) est convergente.
Si \(a_n\leqslant x_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et si \(\lim_{n\to \infty} a_n\neq \lim_{n\to \infty} b_n\), alors \(x_n\) n'a pas de limite.
Si \(|x_n|\leqslant n\) et si \(y_n\to 0\), alors \(x_ny_n\to 0\).
Si \(e^{x_n}\) est bornée et si \(y_n\to 0\), alors \(x_ny_n\to 0\).