5.7 Le critère de la limite du quotient
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Théorème: Soient (an)(a_n) et (bn)(b_n) deux suites. Supposons que an>0a_n\gt 0 et bn>0b_n\gt 0 pour tout nn suffisamment grand, et que α:=limnanbnexiste. \alpha:= \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}\quad \text{existe}. Si α>0\alpha>0, alors soit nan\sum_na_n et nbn\sum_nb_n convergent toutes les deux, soit elles divergent toutes les deux.

Si le quotient anbn\frac{a_n}{b_n} tend vers α>0\alpha>0, cela signifie qu'il est loin de zéro pour tous les indices nn suffisamment grands. Soit ε:=α/2\varepsilon:=\alpha/2. Alors il existe NN tel que anbnαε|\frac{a_n}{b_n}-\alpha|\leqslant \varepsilon pour tout nNn\geqslant N, c'est-à-dire que (αε)=α/2bnan(α+ε)=3α/2bn. \underbrace{(\alpha-\varepsilon)}_{=\alpha/2}b_n\leqslant a_n \leqslant \underbrace{(\alpha+\varepsilon)}_{=3\alpha/2}b_n\,. Donc si nan\sum_na_n converge, nbn\sum_nb_n converge aussi, et si nan\sum_na_n diverge alors nbn\sum_nb_n diverge aussi, et vice versa.

Le théorème ci-dessus est très utile lorsqu'on a un terme général dans lequel on peut identifier un terme qui doit dominer, mais pour lequel aucune comparaison simple ne se présente.

Exemple: Considérons n31n35n1. \sum_{n\geqslant 3}\frac{1}{n^3-5n-1}\,. Ici, la présence du ''n3n^3'' dans le terme général an=1n35n1a_n=\frac{1}{n^3-5n-1} suggère de considérer bn=1n3b_n=\frac{1}{n^3}. En effet, ana_n et bnb_n sont tous deux positifs pour nn suffisamment grand, et α=limnanbn=limnn3n35n1=1>0. \alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}= \lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n^3-5n-1}=1>0\,. Donc la série nan\sum_na_n converge.

Remarquons pourtant que an>bna_n>b_n pour tout n2n\geqslant 2!

Exemple: Considérons la série n1sin(3n2+1). \sum_{n\geqslant 1}\sin\left(\frac{3}{n^2+1}\right)\,. Remarquons que an=sin(3n2+1)>0a_n=\sin(\frac{3}{n^2+1})\gt 0 pour tout nn suffisamment grand. Si on se souvient du résultat qui dit que si xn0x_n\to 0, alors sin(xn)xn1\frac{\sin(x_n)}{x_n}\to 1, cela suggère de poser bn=3n2+1b_n=\frac{3}{n^2+1}; on a alors que α=limnanbn=limnsin(3n2+1)3n2+1=1>0.\alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sin(\frac{3}{n^2+1})}{\frac{3}{n^2+1}}=1>0\,. Puisque nbn=3n1n2+1\sum_nb_n=3\sum_n\frac{1}{n^2+1} converge (son terme général étant 3n2\leqslant \frac{3}{n^2}), on conclut que nan\sum_na_n converge aussi.