Théorème: Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites. Supposons que \(a_n\gt 0\) et \(b_n\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand, et que \[ \alpha:= \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}\quad \text{existe}. \] Si \(\alpha>0\), alors soit \(\sum_na_n\) et \(\sum_nb_n\) convergent toutes les deux, soit elles divergent toutes les deux.
Si le quotient \(\frac{a_n}{b_n}\) tend vers \(\alpha>0\), cela signifie qu'il est loin de zéro pour tous les indices \(n\) suffisamment grands. Soit \(\varepsilon:=\alpha/2\). Alors il existe \(N\) tel que \(|\frac{a_n}{b_n}-\alpha|\leqslant \varepsilon\) pour tout \(n\geqslant N\), c'est-à-dire que \[ \underbrace{(\alpha-\varepsilon)}_{=\alpha/2}b_n\leqslant a_n \leqslant \underbrace{(\alpha+\varepsilon)}_{=3\alpha/2}b_n\,. \] Donc si \(\sum_na_n\) converge, \(\sum_nb_n\) converge aussi, et si \(\sum_na_n\) diverge alors \(\sum_nb_n\) diverge aussi, et vice versa.
Le théorème ci-dessus est très utile lorsqu'on a un terme général dans lequel on peut identifier un terme qui doit dominer, mais pour lequel aucune comparaison simple ne se présente.
Exemple:
Considérons
\[ \sum_{n\geqslant 3}\frac{1}{n^3-5n-1}\,.
\]
Ici, la présence du ''\(n^3\)'' dans
le terme général \(a_n=\frac{1}{n^3-5n-1}\) suggère de considérer
\(b_n=\frac{1}{n^3}\). En effet,
\(a_n\) et \(b_n\) sont tous deux positifs pour \(n\) suffisamment grand, et
\[
\alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=
\lim_{n\to \infty}\frac{n^3}{n^3-5n-1}=1>0\,.
\]
Donc la série \(\sum_na_n\) converge.
Remarquons pourtant que \(a_n>b_n\) pour tout \(n\geqslant 2\)!
Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1}\sin\left(\frac{3}{n^2+1}\right)\,. \] Remarquons que \(a_n=\sin(\frac{3}{n^2+1})\gt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand. Si on se souvient du résultat qui dit que si \(x_n\to 0\), alors \(\frac{\sin(x_n)}{x_n}\to 1\), cela suggère de poser \(b_n=\frac{3}{n^2+1}\); on a alors que \[\alpha=\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sin(\frac{3}{n^2+1})}{\frac{3}{n^2+1}}=1>0\,. \] Puisque \(\sum_nb_n=3\sum_n\frac{1}{n^2+1}\) converge (son terme général étant \(\leqslant \frac{3}{n^2}\)), on conclut que \(\sum_na_n\) converge aussi.
Dernière compilation: 2024-10-17 (15:22:41)
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