Souvent, les séries sont utilisées pour définir des
fonctions d'une variable réelle.
Supposons que le terme général d'une série dépende d'un paramètre réel.
Cela signifie que pour chaque \(n\geqslant 1\), on a une fonction
\[x\mapsto a_n(x)\,.\]
Pour simplifier, on supposera que toutes ces fonctions sont définies sur le même
intervalle \(a_n:I\to \mathbb{R}\).
On peut donc définir, formellement, la fonction \(f:I\to \mathbb{R}\) par
\[ x\mapsto f(x):= \sum_{n\geqslant 1}a_n(x)\,. \]
Évidemment, On ne peut étudier cette fonction que sur les points \(x\) où la
série qui définit \(f(x)\) est convergente. Le domaine de \(f\) est donc
\[
D(f)=\Bigl\{x\in I\,\Big|\,\sum_{n\geqslant 1}a_n(x)\text{ converge}\Bigr\}\,.
\]
Exemple:
Considérons le terme général
\[a_n(x)=x^n\,.\]
Alors pour tout
\(n\geqslant 0\), \(a_n\) est une fonction définie sur \(I=\mathbb{R}\).
On remarque alors que \(f(x)=\sum_{n\geqslant 0}x^n\) n'est autre que la série
géométrique, où \(x\) joue le rôle de raison. On
sait donc qu'elle converge si et
seulement si \(|x|<1\). On a donc \(D(f)=]-1,1[\).
Il est intéressant de remarquer que pour \(x\in D(f)\), \(f(x)\) est en
fait \(\frac{1}{1-x}\)!
Exemple: Si on considère \[a_n(x)=\frac{(x+3)^n}{n!}\,,\] défini pour tout \(x\in \mathbb{R}\), utilisons le critère de l'Alembert pour étudier la convergence de la série \[ f(x)=\sum_{n\geqslant 0}\frac{(x+3)^n}{n!}\,. \] On a, pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \[ \rho= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\Bigr|= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{x+3}{n+1}\Bigr|=0\,. \] De là, on déduit que la série converge quelle que soit la valeur de \(x\), et donc \(D(f)=\mathbb{R}\).
\(\bigstar\) Une fonction définie par une série est en général très difficile à étudier! Si on considère par exemple le terme général \(a_n(x)=\frac{\cos(9^nx)}{2^n}\), on peut vérifier que \[ f(x)=\sum_{n\geqslant 0}\frac{\cos(9^nx)}{2^n} \] est bien définie partout: \(D(f)=\mathbb{R}\). Mais cette fonction (étudiée par Weierstrass au 19ème siècle) possède des propriétés très particulières: elle est continue partout, mais dérivable nulle part (on définira ces termes plus tard dans le cours).
() \(E=\mathbb{R}\setminus \{1\}\)
() \(E=]-1,1[\)
() \(E=]-\infty,0[\)
() \(E=]-\infty,0[\cup ]1,+\infty[\)