5.11 Séries dépendant d'un paramètre

Souvent, les séries sont utilisées pour définir des fonctions d'une variable réelle.

Supposons que le terme général d'une série dépende d'un paramètre réel. Cela signifie que pour chaque \(n\geqslant 1\), on a une fonction \[x\mapsto a_n(x)\,.\] Pour simplifier, on supposera que toutes ces fonctions sont définies sur le même intervalle \(a_n:I\to \mathbb{R}\).

On peut donc définir, formellement, la fonction \(f:I\to \mathbb{R}\) par \[ x\mapsto f(x):= \sum_{n\geqslant 1}a_n(x)\,. \] Évidemment, on ne peut étudier cette fonction que sur les points \(x\) où la série qui définit \(f(x)\) est convergente. Le domaine de \(f\) est donc \[ D(f)=\Bigl\{x\in I\,\Big|\,\sum_{n\geqslant 1}a_n(x)\text{ converge}\Bigr\}\,. \]

Exemple: Considérons le terme général \[a_n(x)=x^n\,.\] Alors pour tout \(n\geqslant 0\), \(a_n\) est une fonction définie sur \(I=\mathbb{R}\). On remarque alors que \(f(x)=\sum_{n\geqslant 0}x^n\) n'est autre que la série géométrique, où \(x\) joue le rôle de raison. On sait donc qu'elle converge si et seulement si \(|x|<1\). On a donc \(D(f)=]-1,1[\).

Il est intéressant de remarquer que pour \(x\in D(f)\), \(f(x)\) est en fait \(\frac{1}{1-x}\)!

Exemple: Si on considère \[a_n(x)=\frac{(x+3)^n}{n!}\,,\] défini pour tout \(x\in \mathbb{R}\), utilisons le critère de l'Alembert pour étudier la convergence de la série \[ f(x)=\sum_{n\geqslant 0}\frac{(x+3)^n}{n!}\,. \] On peut étudier la convergence de cette série, pour un \(x\) fixé, en étudiant \[ \rho(x)= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\Bigr|\,. \] Or en développant, \[ \rho(x)= \lim_{n\to \infty}\Bigl|\frac{(x+3)^{n+1}/(n+1)!}{(x+3)^n/n!}\Bigr|= \lim_{n\to \infty}\frac{|x+3|}{n+1}=0\,. \] donc par le critère de d'Alembert, la série converge pour cette valeur de \(x\), et donc \(f(x)\) est bien définie en ce point. Puisque c'est vrai pour tout \(x\in \mathbb{R}\), on en déduit que \(D(f)=\mathbb{R}\).

Une fonction définie par une série est en général très difficile à étudier! Si on considère par exemple le terme général \(a_n(x)=\frac{\cos(9^nx)}{2^n}\), alors \[ f(x)=\sum_{n\geqslant 0}\frac{\cos(9^nx)}{2^n} \] est bien définie partout: \(D(f)=\mathbb{R}\). En effet, \[ 0\leqslant |a_n(x)|\leqslant \frac{1}{2^n}\,, \] qui est le terme général d'une série géométrique de raison \(r=\frac12\). Cette fonction, étudiée par Weierstrass au 19ème siècle, possède des propriétés très particulières: elle est continue partout, mais dérivable nulle part (on définira ces termes plus tard dans le cours).
Quiz 5.11-1 : L'ensemble de définition \(D(f)\) de la fonction \[f(x)=\sum_{n\geqslant 1}\Bigl(\frac{1+x}{1-x}\Bigr)^n \] est
  1. \(\mathbb{R}\setminus \{1\}\)
  2. \(\left]-1,1\right[\)
  3. \(\left]-\infty,0\right[\)
  4. \(\left]-\infty,0\right[\cup \left]1,+\infty\right[\)

Dernière compilation: 2024-10-28 (11:47:57)

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