Dans cette section, on regarde de plus près les séries de la forme
\[\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p}\,,\]
où \(p\) est un réel fixé.
On a déjà traité les cas \(p=1\) (série harmonique, divergente) et \(p=2\)
(convergente), et on en a déduit, par comparaison,
les cas \(p\lt 1\) et \(p\gt 2\).
Ici on complète cette analyse, en
particulier en traitant les valeurs intermédiaires \(1\lt p \lt 2\).
Théorème: Soit \(p\in \mathbb{R}\). Alors \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p} \begin{cases} \text{converge}&\text{ si }p\gt 1\,,\\ \text{diverge}&\text{ si }p\leqslant 1\,. \end{cases} \]
La divergence pour tous les \(p\leqslant 1\) peut se faire par comparaison avec la
série harmonique. En effet, si \(p\leqslant 1\), alors \(\frac{1}{n^p}\geqslant
\frac{1}{n}\), et puisque \(\sum_{n}\frac{1}{n}=\infty\), cela implique que
\(\sum_n\frac{1}{n^p}=+\infty\).
Soit maintenant \(p\gt 1\). Comme \(s_n\) est monotone croissante, il suffit de
montrer qu'elle est majorée, et pour montrer qu'elle est majorée, il suffit de
montrer qu'une sous-suite quelconque est majorée.
Pour ce faire, on considère la sous-suite \(s_{2^k-1}\).
L'idée va être de majorer cette suite, en la comparant à
la somme partielle d'une série géométrique convergente.
Pour \(k=1\), on a
\[ s_{2^1-1}=\tfrac{1}{1^p}=1\,.\]
Pour \(k=2\), on peut majorer
\[\begin{aligned}
s_{2^2-1}&=\tfrac{1}{1^p}+\underbrace{\tfrac{1}{2^p}+\tfrac{1}{3^p}}_{\leqslant
2\tfrac{1}{2^p}}\\
&\leqslant 1+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)\,.
\end{aligned}\]
Pour \(k=3\),
\[\begin{aligned}
s_{2^3-1}&=\tfrac{1}{1^p}
+\underbrace{\tfrac{1}{2^p}+\tfrac{1}{3^p}}_{\leqslant 2\tfrac{1}{2^p}}
+\underbrace{\tfrac{1}{4^p}+\cdots +\tfrac{1}{7^p}}_{\leqslant 4\tfrac{1}{4^p}}\\
& \leqslant 1+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^2\,.
\end{aligned}\]
Pour \(k=4\),
\[\begin{aligned}
s_{2^4-1}&=\tfrac{1}{1^p}
+\underbrace{\tfrac{1}{2^p}+\tfrac{1}{3^p}}_{\leqslant 2\tfrac{1}{2^p}}
+\underbrace{\tfrac{1}{4^p}+\cdots +\tfrac{1}{7^p}}_{\leqslant 4\tfrac{1}{4^p}}
+\underbrace{\tfrac{1}{8^p}+\cdots +\tfrac{1}{15^p}}_{\leqslant 8\tfrac{1}{8^p}}\\
&\leqslant 1+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^3
\end{aligned}\]
Comme \(p\gt 1\), on a \(\frac{2}{2^p}\lt 1\), et donc pour tout \(k\),
\[\begin{aligned}
s_{2^k-1}
&\leqslant 1
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^2
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^3
+\cdots
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^{k-1}\\
&\lt 1
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^2
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^3
+\cdots
+\bigl(\tfrac{2}{2^p}\bigr)^{k-1}+\underbrace{\cdots}_{\text{le reste de la
série}}\\
&=\frac{1}{1-\frac{2}{2^p}}\lt \infty\,.
\end{aligned}\]
Remarque: Ce résultat montre à quel point la convergence/divergence d'une série peut être sensible au comportement de ses coefficients! En effet, \[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1.000001}}\lt \infty\,, \] alors que \[ \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{0.999999}}=\infty\,. \]
Dans certaines séries, on pourra parfois identifier dans le terme général \(a_n\) une contribution dominante de la forme \(\frac{1}{n^p}\), ce qui pourra donner des idées quant à la convergence/divergence de la série.
Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{4n^3+7}}\,. \] Gardons la contribution venant uniquement du ''\(n^3\)''. Comme \(7\geqslant 0\), on peut majorer le terme général comme suit: \[ 0\leqslant \underbrace{\frac{1}{\sqrt{4n^3+7}}}_{=a_n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{4n^3}} =\frac{1}{2}\frac{1}{n^{3/2}}=:b_n \] Par le théorème, la série \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^{3/2}}\) converge, puisqu'elle correspond au cas \(p=3/2\gt 1\). Donc \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2}\frac{1}{n^{3/2}}\) converge aussi, et par le critère de comparaison, on conclut que \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{4n^3+7}}\) converge.
Exemple: Considérons la série \[\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{4n^2-1}\,.\] On remarque dans le terme général la présence d'un comportement du type \(\frac{1}{n^2}\); on peut l'extraire en mettant le \(n^2\) en évidence au dénominateur, et en majorant le reste: \[\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{n^2}\frac{1}{4-\frac{1}{n^2}}\leqslant \frac{1}{3n^2}\,.\] (En effet, \(4-\frac{1}{n^2}\geqslant 3\) pour tout \(n\geqslant 1\).) Mais puisque la série \(\sum_n\frac{1}{3n^2}=\frac13\sum_n\frac{1}{n^2}\) converge (car \(p=2\gt 1\)), le critère de comparaison implique que \(\sum_{n}\frac{1}{4n^2-1}\) converge.
Dernière compilation: 2024-10-17 (15:16:44)
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