Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.3 Le critère de comparaison

Séries: le critère de comparaison

Le critère le plus utilisé dans l'étude des séries. Il permet, lorsqu'il s'applique, d'étudier la convergence/divergence d'une série donnée, en la comparant avec une autre série donc la convergence/divergence est connue.

Théorème: Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites telles que \[0\leqslant a_n\leqslant b_n\] pour tout \(n\) suffisamment grand.

Si \(\displaystyle\sum_nb_n\) converge, alors \(\displaystyle\sum_na_n\) converge aussi.
Si \(\displaystyle\sum_na_n=+\infty\), alors \(\displaystyle\sum_nb_n=+\infty\).

1) Supposons que \(0\leqslant a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant N\). Définissons les sommes \[s_n:=\sum_{k=N}^na_k\,,\qquad s_n':= \sum_{k=N}^nb_k\,.\] Comme la convergence d'une série ne dépend pas de ce que font ses premiers termes, on a que \(\sum_na_n\) converge si et seulement si \(s_n\) possède une limite. De même, \(\sum_nb_n\) converge si et seulement si \(s_n'\) possède une limite. Observons maintenant que comme tous les termes que leurs sommes contiennent sont positifs, les suites \(s_n\) et \(s_n'\) sont monotones croissantes. Supposons maintenant que \(s_n'\) converge: \(s_n'\to s'\). Comme \(s_n'\) est croissante, on a \(s_n'\leqslant s'\). On peut donc écrire \[ 0\leqslant s_n\leqslant s_n'\leqslant s'\qquad \forall n\geqslant N\,.\] On conclut que \(s_n\) est croissante et majorée, donc aussi convergente. 2) En utilisant la même inégalité, \(s_n'\geqslant s_n\) pour tout \(n\geqslant N\), on déduit que si \(s_n\to+\infty\), alors le théorème du chien méchant implique \(s_n'\to\infty\).

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2^n+n+\sin(n)}\,. \] Pour tout \(n\geqslant 1\), \(n+\sin(n)\geqslant 1-1=0\). On peut donc comparer: \[ 0\leqslant \underbrace{\frac{1}{2^n+n+\sin(n)}}_{=:a_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{2^n}}_{=:b_n}\,. \] Puisque \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) est une série géométrique de raison \(r=\frac12<1\), elle converge. Donc \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge aussi.

Exemple: On sait que \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2}\quad \text{ converge.}\] Si on prend n'importe quel \(p\gt 2\), alors \(n^p\geqslant n^2\), et donc \[0\leqslant \underbrace{\frac{1}{n^p}}_{=a_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{n^2}}_{=b_n}\qquad \text{ pour tout }n\geqslant 1\,.\] Par le critère de comparaison, \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p}\) converge aussi.

Maintenant, on sait que la série harmonique \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n}=\infty\,.\] Si on prend n'importe quel \(p\lt 1\), alors \(n^p\leqslant n\), et donc \[0\leqslant \underbrace{\frac{1}{n}}_{=a_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{n^p}}_{=b_n}\qquad \text{ pour tout }n\geqslant 1\,.\] Par le critère de comparaison, \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p}=+\infty\).

On a donc montré que \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text{diverge si }p\leqslant 1\,,\\ \text{converge si }p\geqslant 2\,.\\ \end{cases} \] Nous verrons plus loin ce qu'il en est des valeurs intermédiaires \(p\in ]1,2[\).

Quiz 5.3-1 : Vrai ou faux?

Si \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant 1\), et si \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) converge, alors \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge aussi.
Si il existe deux sous-suites \((a_{n_k})_k\) et \((b_{n_k})_k\) telles que \(0\leqslant a_{n_k}\leqslant b_{n_k}\) pour tout \(k\) suffisamment grand, et si \(\sum_nb_{n}\) converge, alors \(\sum_na_{n}\) converge aussi.
Si il existe deux sous-suites \((a_{n_k})_k\) et \((b_{n_k})_k\) telles que \(0\leqslant a_{n_k}\leqslant b_{n_k}\) pour tout \(k\) suffisamment grand, et si \(\sum_kb_{n_k}\) converge, alors \(\sum_ka_{n_k}\) converge aussi.