Analyse 1 | S. Friedli (EPFL)

5.3 Le critère de comparaison

Séries: le critère de comparaison

Le critère le plus utilisé dans l'étude des séries. Il permet, lorsqu'il s'applique, d'étudier la convergence/divergence d'une série donnée, en la comparant avec une autre série donc la convergence/divergence est connue.

Théorème: Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites telles que \[0\leqslant a_n\leqslant b_n\] pour tout \(n\) suffisamment grand.

Si \(\displaystyle\sum_nb_n\) converge, alors \(\displaystyle\sum_na_n\) converge aussi.
Si \(\displaystyle\sum_na_n=+\infty\), alors \(\displaystyle\sum_nb_n=+\infty\).

Supposons pour commencer que \(0\leqslant a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant 1\) (au lieu de juste ''pour tout \(n\) suffisamment grand''). Définissons les sommes partielles: \[s_n:=\sum_{k=1}^na_k\,,\qquad s_n':= \sum_{k=1}^nb_k\,.\] Par définition, \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge si et seulement si \(s_n\) est convergente, et \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) converge si et seulement si \(s_n'\) est convergente. Puisque \(0\leqslant a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\), on a aussi que \[ 0\leqslant s_n\leqslant s_n'\qquad \forall n\geqslant 1\,. \] De plus, comme tous les termes que leurs sommes contiennent sont positifs, \(s_n\) et \(s_n'\) sont des suites croissantes. En effet, on peut écrire, pour tout \(n\geqslant 1\), \[\begin{aligned} s_{n+1}-s_n &=(a_1+\cdots+a_n+a_{n+1})-(a_1+\cdots+a_n)\\ &=a_{n+1}\geqslant 0\,, \end{aligned}\] et donc \(s_{n+1}\geqslant s_n\). (Pareil avec \(s_n'\).)

Si \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) converge, alors il existe \(s'\in \mathbb{R}\) tel que \(s_n'\to s'\). Comme \(s_n'\) est croissante, on a \(s_n'\leqslant s'\), et donc aussi \(s_n\leqslant s'\). Donc \(s_n\) est croissante et majorée, donc aussi convergente, ce qui signifie que \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge.
Si \(\sum_{n\geqslant 1}a_n=+\infty\), c'est que \(s_n\to \infty\), et donc comme \(s_n'\geqslant s_n\) pour tout \(n\geqslant 1\), le théorème du chien méchant implique \(s_n'\to\infty\), c'est-à-dire \(\sum_{n\geqslant 1}b_n=+\infty\).

Maintenant, si on a \(0\leqslant a_n\leqslant b_n\) seulement à partir d'un certain \(n_0\), on peut adapter l'argument sans difficulté, en redéfinissant \[s_n:=\sum_{k=n_0}^na_k\,,\qquad s_n':= \sum_{k=n_0}^nb_k\,.\]

Exemple: Considérons la série \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{2^n+n+\sin(n)}\,. \] Pour tout \(n\geqslant 1\), \(n+\sin(n)\geqslant 1-1=0\). On peut donc comparer: \[ 0\leqslant \underbrace{\frac{1}{2^n+n+\sin(n)}}_{=:a_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{2^n}}_{=:b_n}\,. \] Puisque \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) est une série géométrique de raison \(r=\frac12<1\), elle converge. Donc \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge aussi.

Exemple: Considérons \[\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p}\,,\] où \(p\) est un réel fixé.

On sait déjà que dans le cas \(p=2\), \[\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^2}\quad \text{ converge.}\] Or si on prend n'importe quel \(p\gt 2\), alors \(n^p\geqslant n^2\) (pour tout \(n\geqslant 1\)), et donc \[0\leqslant \underbrace{\frac{1}{n^p}}_{=a_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{n^2}}_{=b_n}\qquad \text{ pour tout }n\geqslant 1\,.\] Donc par le critère de comparaison, \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p}\) converge aussi.
D'autre part, on sait que la série harmonique \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n}=\infty\,.\] Or si on prend n'importe quel \(p\lt 1\), alors \(n^p\leqslant n\) (pour tout \(n\geqslant 1\)), et donc \[0\leqslant \underbrace{\frac{1}{n}}_{=a_n}\leqslant \underbrace{\frac{1}{n^p}}_{=b_n}\qquad \text{ pour tout }n\geqslant 1\,.\] Donc par le critère de comparaison, \(\sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p}=+\infty\).

On a donc montré que \[ \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{n^p} = \begin{cases} \text{diverge si }p\leqslant 1\,,\\ \text{converge si }p\geqslant 2\,.\\ \end{cases} \] Nous verrons plus loin ce qu'il en est des valeurs intermédiaires \(p\in ]1,2[\).

Quiz 5.3-1 : Vrai ou faux?

Si \(a_n\leqslant b_n\) pour tout \(n\geqslant 1\), et si \(\sum_{n\geqslant 1}b_n\) converge, alors \(\sum_{n\geqslant 1}a_n\) converge aussi.
Si il existe deux sous-suites \((a_{n_k})_k\) et \((b_{n_k})_k\) telles que \(0\leqslant a_{n_k}\leqslant b_{n_k}\) pour tout \(k\) suffisamment grand, et si \(\sum_nb_{n}\) converge, alors \(\sum_na_{n}\) converge aussi.
Si il existe deux sous-suites \((a_{n_k})_k\) et \((b_{n_k})_k\) telles que \(0\leqslant a_{n_k}\leqslant b_{n_k}\) pour tout \(k\) suffisamment grand, et si \(\sum_kb_{n_k}\) converge, alors \(\sum_ka_{n_k}\) converge aussi.