1) ''De supprimer les passages à la ligne bizarres quand on imprime une série en
PDF pour é-viter d’a-voir ce genr-e de choses sur la feuille. (Peut être en
réduisant les marges sur les côtés de la feuille?)''
2) ''avoir la possibilité d’obtenir les corrections de la série en pdf?''
3) ''obtenir le planning pour la matière à étudier plus tôt dans la semaine.
Histoire de pouvoir mieux organiser ses périodes d’étude à la maison.''
''J’aime bien mais une suggestion sera peut être de faire un petit résumé/document
de ce qu’on a vu (avec les définitions et théorèmes)''
''Le cours est utile et intéressant, mais parfois on passe un peu trop de temps
sur chaque exercice en classe, ce qui ralentit le rythme.''
''Je crois que ça serait bien d'utiliser le micro en forme de cube pour poser des
questions en classe''. (0 likes, 10 votes)
Aujourd'hui: Exercice 1:
Soit \((x_n)\) une suite telle que
\[
\lim_{n\to \infty}x_n=L\,,
\]
où \(L\lt 0\).
Montrer que \(x_n\lt 0\) pour tout \(n\) suffisamment grand.
Solution:
Prenons \(\varepsilon:= \frac{|L|}{3}\).
On sait qu'il existe \(N\) tel que
\[
|x_n-L|\leqslant \varepsilon \qquad \forall n\geqslant N\,.
\]
Or
\[
|x_n-L|\leqslant \varepsilon
\quad\Rightarrow\quad
x_n-L\leqslant \varepsilon
\quad\Rightarrow\quad
x_n\leqslant L+ \varepsilon
\]
Mais puisque \(L\lt 0\), \(L+\varepsilon=L-\frac{L}{3}=\frac{2L}{3}\lt 0\).
Quiz :
Si \((x_n)_{n\geqslant 1}\) est croissante et telle que
\(x_n\leqslant \log(\frac{n}{5})\) pour tout \(n\geqslant 1\), alors \((x_n)_{n\geqslant 1}\)
est convergente.
VRAI
FAUX
Exercice 2:
Vrai ou faux?
Soit \((x_n)\) telle que
\[x_{n+1}\geqslant x_n+\tfrac{1}{9^n}
\quad\text{ et }\quad
x_n(1-x_n)\gt 0
\qquad \forall n\geqslant 47\,.
\]
Alors \((x_n)\) converge.
Solution
C'est vrai. La première condition implique que \(x_{n+1}\gt x_n\) et la
deuxième que \(x_n\in ]0,1[\). Donc \((x_n)\) est croissante et majorée, donc
elle converge.
Exercice 3:
(Indéterminations avec des \(\pm \infty\).)
Etudier rigoureusement les limites ci-dessous.
Remarquons que \(\sqrt{n}\to +\infty\) et qu'en
multipliant et divisant par le conjugué,
\[\begin{aligned}
\sqrt{n+a}-\sqrt{n}
&=\frac{(n+a)-n}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\\
&=\frac{a}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\to 0\,,
\end{aligned}\]
quelle que soit la valeur de \(a\).
La limite demandée est donc une indétermination ''\(\infty\cdot 0\)''.
Mais, en utilisant à nouveau le conjugué,
\[\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+a}-\sqrt{n})
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a\sqrt{n}}{\sqrt{n+a}+\sqrt{n}}\\
&=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{n}}+1}\\
&=\frac{a}{2}\,.
\end{aligned}\]
Exercice 5:
Etudier la limite suivante, en fonction de
\(\alpha\in\mathbb{R}\).
\[
\lim_{n\to\infty}n^\alpha\sin(\tfrac{1}{n})
\]
Indication: Dans la distinction des cas, on considérera
séparément le cas \(\alpha=1\).
Solution
On a \(\sin(\frac1n)\to 0\).
Si \(\alpha=0\),
\[ n^\alpha
\sin(\tfrac1n)
=
\sin(\tfrac1n)
\to 0\,.
\]
Si \(\alpha\lt 0\), alors \(\alpha=-|\alpha|\) et
\(n^\alpha=n^{-|\alpha|}=\frac{1}{n^{|\alpha|}}\to 0\), et donc
\[
n^\alpha \sin(\tfrac1n)
=
\frac{1}{n^{|\alpha|}}
\sin(\tfrac1n)
\to 0\cdot 0=0\,.
\]
Si \(\alpha\gt 0\), alors \(n^\alpha\to +\infty\) et donc
la limite de \(n^\alpha\sin(\frac1n)\) est
indéterminée, du type ''\(\infty\cdot 0\)''.
Remarque:
Dans le cas où \(\alpha=1\), le résultat vu au cours (limite de
\(\frac{\sin(x_n)}{x_n}\) vu
ici) implique
\[
n \sin(\tfrac1n)
=\frac{\sin(\frac1n)}{\frac1n}\to 1\,.
\]
On a donc
\[
n^\alpha \sin(\tfrac1n)
=n^{\alpha-1}\frac{\sin(\frac1n)}{\frac1n}
\to
\begin{cases}
+\infty&\text{ si }\alpha-1\gt 0\,,\\
0&\text{ si }\alpha-1\lt 0\,.
\end{cases}
\]
En résumé,
\[
n^\alpha \sin(\tfrac1n)
\to
\begin{cases}
0&\text{ si }\alpha\lt 1\\
1&\text{ si }\alpha= 1\\
+\infty&\text{ si }\alpha\gt 1\,.
\end{cases}
\]
Exercice 6:
Calculer la valeur de
\[
4-\frac{12}{7}+\frac{36}{49}-\frac{108}{343}+\cdots
\]
Solution
Exercice 8:
Montrer que
si \(k_n\in \mathbb{N}\) est une suite d'entiers bornée, alors
\[
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k_n}= 1\,.
\]
Solution
Soit \(m\in \mathbb{N}\) tel que \(k_n\leqslant m\) pour tout \(m\).
On a
\[
1\leqslant
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k_n}
\leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^m\,.
\]
Du côté droit le produit contient un nombre
fixé de termes, et puisque \(\frac{1}{n}\to 0\), il tend vers \(1\).
Exercice 9:
Le critère de d'Alembert est-il utile
pour calculer
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)}{n^2}\qquad ?
\]
Réponse
Non. En effet, cette suite donne
\[\begin{aligned}
\rho
&=\lim_{n\to\infty}
\left|
\frac{\log(n+1)/(n+1)^2}{\log(n)/n^2}
\right|\\
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\log(n+1)}{\log(n)}
\underbrace{\frac{n^2}{(n+1)^2}}_{\to 1} \\
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\log(n(1+\frac{1}{n}))}{\log(n)} \\
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\log(n)+\log(1+\frac{1}{n})}{\log(n)} \\
&=\lim_{n\to\infty}
\left(
1+
\frac{\log(1+\frac{1}{n})}{\log(n)} \right)\\
&=1\,.
\end{aligned}\]
Dans la dernière ligne, on a utilisé le fait que \(\log(1+\frac{1}{n})\to 0\) et
que \(\log(n)\to \infty\).
Exercice 10:
Vrai ou faux?
Si \(a_n=\frac{n}{(n+1)^2}\),
et \(q_n=|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\),
alors
Faux (elle tend vers zéro, donc on sait quelque chose! Ceci même si la
limite de \(q_n\) est égale à \(1\)).
Quiz :
Si la limite
\(\displaystyle
\widetilde{\rho}=
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{x_{n+2}}{x_n} \right|
\)
existe et \(\widetilde{\rho}\lt 1\), alors \(x_n\to 0\).
VRAI
FAUX
Si on procède exactement comme dans
la preuve du critère de d'Alembert,
on montre qu'il existe un
\(\delta\in ]0,1[\) et un entier \(N\) tels que
\[
|x_{n+2k}|\leqslant (1-\delta)^k|x_n|\qquad \forall k\in\mathbb{N},n\geqslant N
\]
Comme \((1-\delta)^k\to 0\) lorsque \(k\to\infty\), cette dernière implique que
le long des indices pairs, \(x_{2j}\to 0\), et
le long des indices impairs, \(x_{2j+1}\to 0\), ce qui implique \(x_n\to 0\).
Révision
Exercice 11:
(Semblable à l'Exercice 03-07.)
Montrer que \(a_n\to L\) si et seulement si pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\) il existe
\(N\in\mathbb{N}\) tel que
\[
|a_n-L|\leqslant \frac{1}{10^k}\qquad\forall n\geqslant N\,.
\]
Exercice 12:
Révision: (2016) Soit \(E\subset \mathbb{R}\) défini par
\[
E=\left\{
\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-1}\,:\,n\in\mathbb{N}^*
\right\}
\]
Alors
